Buenas tardes, espero que se encuentren muy bien. Traigo la siguiente consulta:
\( \mathbb{N} \)x\( [0,1) \) ¿es conexo según la topología del orden del diccionario?
Sí, es conexo porque es homeomorfo al espacio \( [0, +\infty[ \) que te había probado
argentinator en el otro hilo. Aquí
ani_pascual te construyó explícitamente el homeomorfismo y que yo lo probé justo después:
Orden Lexicográfico¿Podría utilizar las funciones proyección como homeomorfismo y utilizar el teorema que menciona que un conexo bajo una aplicación continua resulta conexo?
Claro, es usar el homeomorfismo descrito en el enlace que te pasé, aunque creo que queda más claro saber que la conexión es una propiedad topológica, luego se conserva por homeomorfismos.
¿Qué ocurre con los conjuntos \( [0,1) \)x\( \mathbb{N} \), \( [0,1) \)x\( [0,1) \), \( [0,1] \)x\( [0,1) \) y \( [0,1) \)x\( [0,1] \)?
Ninguno de ellos salvo \( [0, 1[ \;\times\; [0, 1] \) es conexo.
La justificación de que \( Y := [0, 1[ \;\times\; [0, 1] \) con la topología del diccionario es conexo se debe a que es un subespacio convexo de \( L := [0, 1] \times [0, 1] \) con la topología del diccionario, donde ésta también resulta ser conexa por poseer la propiedad del supremo. La prueba de todo esto se puede realizar con la ayuda de Munkres: usas el teorema 24.1 (junto con el primer párrafo de la demostración) y el ejemplo que aparece justo después del teorema 24.3.
Para los otros casos: demuestras que \( \{ (0,0) \} \) es un abierto-cerrado de \( [0,1[ \;\times\; \mathbb{N} \) con la topología lexicográfica y que \( \{ 0 \} \times [0, 1[ \) es un abierto-cerrado tanto para \( [0,1[ \;\times\; [0,1[ \) como para \( [0,1] \times [0,1[ \), ambos dotados con la topología del diccionario. Te dejo a que lo intentes.
