[FedeFrontera]

Buenas tardes, espero que se encuentren muy bien. Traigo la siguiente consulta:

\( \mathbb{N} \)x\( [0,1) \) ¿es conexo según la topología del orden del diccionario?

Yo considero que no, que puedo encontrar una separación agrupando \( {n} \)x\( [0,1) \) los que considero que son abiertos en esta topología.

Desde ante mano muchas gracias.

[argentinator]

Es homeomorfo a \([0,\infty)\), así que es conexo.

[FedeFrontera]

Bien muchas gracias, el homeomorfismo sería la función proyección sobre Y ¿verdad? Ahora me hago la pregunta de cómo demostrar que cumple con la propiedad del supremo - esto para poder ser continuo lineal - si N no es acotado superiormente. ¿Me podrías dar una mano con eso?

[ani_pascual]

Hola:

Es homeomorfo a \([0,\infty)\), así que es conexo.

Tengo la topología del orden lexicográfico en el baúl de los recuerdos   y como quien no pregunta no aprende, allá voy...
¿Podría servir como homeomorfismo la aplicación \( \varphi:\begin{array}[t]{rcl}[0,\infty)&\longrightarrow&\mathbb{N}\times [\textcolor{red}{0},1)\\x&\mapsto &([x],x-[x])\end{array} \)?
Si es válida, ¿podrías explicar un poco por qué es bicontinua?
Gracias con antelación.
Gracias por el aviso de errata, Guli-Guli 
Saludos 🖐🏻

[Guli-Guli]

¿Podría servir como homeomorfismo la aplicación \( \varphi:\begin{array}[t]{rcl}[0,\infty)&\longrightarrow&\mathbb{N}\times [\textcolor{red}{9},1)\\x&\mapsto &([x],x-[x])\end{array} \)?

Aquí hay una pequeña errata, cuidado.

Antes de nada, y para no confundir con \( \mathbb{N} \times [0, 1[ \) con la topología producto (de ahí el error inicial de FedeFrontera), le voy a llamar \( X \) a ese conjunto con el orden lexicográfico, de tal manera que le podemos dotar la topología de orden.

Ahora quisiera responder a la pregunta que formuló ani_pascual:

Respuesta

Estamos de acuerdo que \( \varphi \) es biyectiva por el tema de que todo número real no negativo se puede descomponer en parte entera y parte fraccionaria. La función inversa de \( \varphi \) sería simplemente la función

\( \psi:\begin{array}[t]{rcl}X&\longrightarrow&[0,+\infty[\\(n, w)&\mapsto &n+w\end{array} \)

Veamos la continuidad de \( \varphi \) usando abiertos básicos de \( X \). En efecto, los abiertos básicos de \( X \) son \( ](m, v), (n, w)[ \) o \( [(0, 0), (n, w)[ \) para todo \( m, n \in \mathbb{N} \) y todo \( v, w \in [0, 1[ \). De esta manera,

\( \varphi^{-1}(](m, v), (n, w)[) =\;]m + v, n + w[, \qquad \varphi^{-1}([(0, 0), (n, w)[) = [0, n + w[ \),

que son abiertos de \( [0, +\infty[ \).

Sólo falta probar la continuidad de \( \psi \) usando los abiertos básicos de \( [0, +\infty[ \). Se procede de manera bastante similar a la anterior, así que te lo dejo como ejercicio.

[cerrar]

Bien muchas gracias, el homeomorfismo sería la función proyección sobre Y ¿verdad? Ahora me hago la pregunta de cómo demostrar que cumple con la propiedad del supremo - esto para poder ser continuo lineal - si N no es acotado superiormente. ¿Me podrías dar una mano con eso?

No soy argentinator, pero te respondo igualmente por si te sirve de algo.

Un truco que se me ocurre es aprovecharte de la propiedad del supremo que posee el conjunto ordenado \( [0, +\infty[ \) a través del homeomorfismo \( \varphi \) que escribió ani_pascual y que lo probé en el spoiler anterior. Tienes que pensar \( X \) como \( [0, +\infty[ \) donde divides la parte entera de la parte fraccionaria. De esta forma puedes probar, por ejemplo:

Teorema. Se cumple:

• \( x < y \) en \( [0, +\infty[ \) si y solo si \( ([x], x - [x]) < ([y], y - [y]) \) en \( X \).
• \( (m, v) < (n, w) \) en \( X \) si y solo si \( m + v < n + w \) en \( [0, +\infty[ \).

Te dejo como ejercicio que demuestres este teorema, que se basa en usar la definición del orden lexicográfico.

Atendiendo la idea que expuse anteriormente, intenta probar que \( X \) posee la propiedad del supremo. Te dejo aquí la prueba por si no te sale:

Demostración

Partamos de un subconjunto no vacío \( A \subseteq{} X \) acotado superiormente y probemos que \( A \) tiene un supremo en \( X \). Que \( A \) esté acotado superiormente en \( X \) significa que \( A \subseteq{} [(0, 0), (n, w)[ \) para algún \( (n, w) \in X \). Aplicando el homeomorfismo \( \varphi \) obtenemos que \( \varphi(A) \subseteq{} [0, n + w[ \). En particular, \( \varphi(A) \) es un conjunto no vacío acotado superiormente en \( [0, +\infty[ \). Por la propiedad del supremo de \( [0, +\infty[ \), el conjunto \( \varphi(A) \) posee un supremo \( x \) en \( [0, +\infty[ \).

Llamémosle \( s := ([x], x - [x]) \). Probemos que \( s \) es el supremo del conjunto \( A \) en \( X \). En efecto, sabemos que \( \varphi(A) \subseteq{} [0, x] \). Aplicando la función inversa del homeomorfismo \( \varphi \) obtenemos que \( A \subseteq{} [(0, 0), s] \). Si \( s \) no fuera el supremo de \( A \) en \( X \), existiría un \( (m, v) < s \) tal que \( A \subseteq{} [(0, 0), (m, v)[ \), lo cual implicaría que \( \varphi(A) \subseteq{} [0, m + v[\;\subset [0, x] \), pero esto es imposible, porque habíamos dicho que \( x \) es el supremo de \( \varphi(A) \) en \( X \).

[cerrar]

[argentinator]

Coincido con Guli en la prueba del homeomorfismo.

La conexidad se conserva desde la semirrecta real contagiándola al conjunto X por ser imagen sobreyectiva de la función continua \(\psi\).

[ani_pascual]

Hola:

...
Aquí hay una pequeña errata, cuidado.

Gracias por el aviso de errata.  Ya lo he corregido.

Ahora quisiera responder a la pregunta que formuló ani_pascual:

Spoiler

Estamos de acuerdo que \( \varphi \) es biyectiva por el tema de que todo número real no negativo se puede descomponer en parte entera y parte fraccionaria. La función inversa de \( \varphi \) sería simplemente la función

\( \psi:\begin{array}[t]{rcl}X&\longrightarrow&[0,+\infty[\\(n, w)&\mapsto &n+w\end{array} \)

Veamos la continuidad de \( \varphi \) usando abiertos básicos de \( X \). En efecto, los abiertos básicos de \( X \) son

\( ](m, v), (n, w)[ \)    o bien    \( [(0, 0), (n, w)[ \)

para todo \( m, n \in \mathbb{N} \) y todo \( v, w \in [0, 1[ \). De esta manera,

\( \varphi^{-1}(](m, v), (n, w)[) =\;]m + v, n + w[ \),

\( \varphi^{-1}([(0, 0), (n, w)[) = [0, n + w[ \),

que son abiertos de \( [0, +\infty[ \).

Sólo falta probar la continuidad de \( \psi \) usando los abiertos básicos de \( [0, +\infty[ \). Se procede de manera bastante similar a la anterior, así que te lo dejo como ejercicio.

[cerrar]

Voy a intentarlo... 
Veamos que \( \psi:\begin{array}[t]{rcl}\mathbb{N}\times [0,1[&\longrightarrow&[0,\infty[\\(n,\omega)&\mapsto &n+\omega\end{array} \) es continua con la topología del orden lexicográfico. Basta comprobarlo con abiertos básicos de \( [0,\infty[ \), que son del tipo \( ]x,y[ \) con \( 0<x<y \) o bien \( [0,y[ \) con \( 0<y \). En el primer caso, \( \psi^{-1}(]x,y[)=]([x],x-[x]),([y],y-[y])[ \) que es un abierto en \( \mathbb{N}\times [0,1[ \), y en el segundo caso \( \psi^{-1}([0,y[)=[(0,0), ([y],y-[y])[ \) que es también un abierto en \( \mathbb{N}\times [0,1[ \). 
Téngase en cuenta que si es \( 0<x<y \) entonces, o bien es \( 0\leq [x]< [y]  \) o bien  es \( [x]=[y] \) con \(  x-[x]<y-[y] \), en cualquier caso es \( ([x],x-[x])<([y],y-[y]) \)
¿Es correcto?
Saludos

[Guli-Guli]

Voy a intentarlo... 
Veamos que \( \psi:\begin{array}[t]{rcl}\mathbb{N}\times [0,1[&\longrightarrow&[0,\infty[\\(n,\omega)&\mapsto &n+\omega\end{array} \) es continua con la topología del orden lexicográfico. Basta comprobarlo con abiertos básicos de \( [0,\infty[ \), que son del tipo \( ]x,y[ \) con \( 0<x<y \) o bien \( [0,y[ \) con \( 0<y \). En el primer caso, \( \psi^{-1}(]x,y[)=]([x],x-[x]),([y],y-[y])[ \) que es un abierto en \( \mathbb{N}\times [0,1[ \), y en el segundo caso \( \psi^{-1}([0,y[)=[(0,0), ([y],y-[y])[ \) que es también un abierto en \( \mathbb{N}\times [0,1[ \). 
Téngase en cuenta que si es \( 0<x<y \) entonces, o bien es \( 0\leq [x]< [y]  \) o bien  es \( [x]=[y] \) con \(  x-[x]<y-[y] \), en cualquier caso es \( ([x],x-[x])<([y],y-[y]) \)
¿Es correcto?
Saludos

Correcto. 

[ani_pascual]

Hola:

Correcto.
...

Gracias por el vistazo 
Saludos