¿Qué significa realmente observar algo? Sea un observador X que quiere observar a un observador Y que está a una cierta distancia d euclidiana. Al ojo humano del observador X le llega un fotón (o un flujo de ellos) emitido por un cuerpo Y (por el hecho de estar caliente) o porque la luz se refleja en ese cuerpo (gracias a una fuente luminosa como el Sol). Los humanos estamos limitados a la luz visible, no servirían fotones de infrarroja u otros, así que supongamos que el fotón tiene una longitud de onda de luz visible. Los fotones tienen una cierta velocidad c en el vacío que es una constante universal, por tanto, no observamos instantáneamente. Habría entonces un cierto tiempo que tardamos en observar, aunque parezca inmediato en el mundo macroscópico. En este tiempo, la longitud de onda podría desplazarse debido a la expansión del universo, el famoso corrimiento al rojo. Pero no sé si será demasiado complejo tener en cuenta esto, así que supongamos un universo estacionario, además seguramente su efecto sería prácticamente negligible cuando d es una distancia pequeña.
Hola, bastante complicado el relato, el fotón es un tipo de partícula elemental, dos de ellas pueden diferir en su frecuencia, que está relacionada con su energía, pero todos los fotones se mueven en el espacio tiempo a la misma velocidad $$c$$, la de la luz. Los efectos de corrimiento al rojo son importante cuando $$d$$ cobra tamaño importante, por ejemplo para la medición de distancias entre galaxias y no para escala de laboratorio.
Los humanos tenemos desarrollados sentidos mas o menos sensibles a distintas frecuencias de los fotones, no podemos sentir las ondas de radio, si percibimos las infrarrojas al tacto o en forma de calor por radiación, la luz visible por los ojos y las de más frecuencia son mas dañinas las UV nos afectan y aportan el bronceado del verano, los rayos X y Gamma,en dosis grandes pueden ser letales.
En cualquier caso, me pregunto, ¿qué trayectoria exacta recorre un fotón hasta llegar al observador X?
Una geodésica del espacio tiempo.
Quiero decir suponiendo que los dos observadores están suficientemente aislados del resto de cuerpos como para considerar que están solos en el universo, ¿cómo la presencia de sus cuerpos altera la trayectoria del fotón?
Cualquier tipo de energía deforma la geometría plana imaginaria que preconcebimos del espacio tiempo. En ese espacio tiempo la masa de los objetos es una forma muy eficiente de acumular energía , recuerdas $$E=mc^2$$ Esa es la energía que posee una masa $$m$$ , cuando la masa es grande la curvatura del espacio se hace mas evidente, y las trayectorias antes rectas se trasforman en curvas.
Porque no iría en línea recta, esto no sería un plano de Minkowski, sino que estaría curvado por los dos cuerpos. Pero suponiendo que estos dos cuerpos no estén quietos, su velocidad también influiría a la trayectoria del fotón.
En un espacio tiempo de Minkowsky la trayectoria es una recta , pero en un espacio tiempo curvo , la trayectoria equivalente es la geodesia, y no tiene porque ser una recta.
Con todo esto, mi pregunta realmente es cómo puedo calcular la trayectoria de un fotón teniendo en cuenta solo los dos cuerpos (sus masas y velocidades, es decir, momentos) y el tiempo que tarda el fotón en llegar en función de d según la Relatividad General. ¿La longitud de la curva parametrizada (geodésica luminosa) sería lo que busco? ¿Y para el tiempo que tarda?
Ok , veamos el sol con su gran masa solo deflecta los fotones que pasan a su lado en 1.74 segundos de arco, es casi nada , pero no es cero. Así que si quieres notar efectos mas visibles debes experimentar con masas mas grandes o concentradas que la del sol.
Si no vas a trabajar a esas escalas es muy pocO lo que puedas marcar como un desvío de la recta o de la teoría Newtoniana.
por otro lado las ecuaciones de campo de Einstein han sido resueltas para unos pocos casos muy particulares, Por ejemplo las soluciones de Schwarzchild para objetos masivos en espacio vacio, o la FLRW para el universo en expansión ...,pero para dos objetos orbitándose , no hay solución exacta hasta el momento , luego solo podrás modelizar por ordenador.
El tiempo de viaje para una distancia d medida en ese espacio tiempo depende de la métrica de ese espacio tiempo, con ella debes calcular las trayectorias geodésicas de tu partícula de prueba, luego de parametrizar esas curvas puedes graficarlas o integrar para calcular tiempos, o todo lo que necesites saber. Pero todo pasa por resolver las 10 ecuaciones con 10 incógnitas de las ecuaciones de campo de Einstein, cosa que no es fácil si no es tas familiarizado con el algebra tensorial y la geometría diferencial.
Si quieres ver algo sencillo puedes pasar por
Método para graficar órbita geodésicas y trayectorias en el espacio métrico de Schwarzchild.
