[sanderdrd]

Hola, necesito ayuda para probar que para la función \( f(x)= \sqrt{x^2-3x+3} \), se tiene que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f^n(x)}=1 \). Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Hola, necesito ayuda para probar que para la función \( f(x)= \sqrt{x^2-3x+3} \), se tiene que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f^n(x)}=1 \). Gracias.

Eso es falso, toma \( x=0 \) y tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f^n(0) = +\infty  \)
Supongo querías  poner:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{f(x)} = 1  \)
Tenemos que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = 1  \) luego:
Dado \( x \in \mathbb{R} \) tenemos que existe \( n \in \mathbb{N} \) verificando:
\( 0 < \dfrac{1}{n} < \dfrac{3}{4} \leq f(x) < n  \) luego : \( 0 < \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}} < \sqrt[n]{\dfrac{3}{4}} \leq \sqrt[n]{f(x)} < \sqrt[n]{n}  \) 

[sanderdrd]

Defino \( f^n(x) \) como la iteración n de la función, es decir, \( f \circ f \circ f … \circ f(x) \). Además, \( x \in (0,\infty) \).

[Juan Pablo Sancho]

Entonces nada.
Sea \( a_n = f^n(x)  \) tenemos \( a_n = \sqrt{(a_{n-1} - \dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{3}{4}} \).
Si \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = L  \) tenemos que \( L=1 \).

Spoiler

\( L^2 = (L - \dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{3}{4}  \) luego \( 0 = \dfrac{9}{4} - 3L + \dfrac{3}{4} = 3-3L \)

[cerrar]

Mañana intentaré ver la convergencia.

[sanderdrd]

Gracias por tu respuesta. ¿Me podrías explicar el razonamiento para encontrar la sucesión?

[manooooh]

Hola

¿Me podrías explicar el razonamiento para encontrar la sucesión?

Tienes:

\( f(x)= \sqrt{x^2-3x+3} \)

Completando cuadrados:

\[ f(x)=\sqrt{\left(x-\frac32\right)^2+\frac34} \]

Así pues, componer \( f \) consigo misma sería introducir la expresión de \( f \) del lado derecho donde aparezca \( x \):

\[ (f\circ f)(x)=\sqrt{\left(\sqrt{\left(x-\frac32\right)^2+\frac34}-\frac32\right)^2+\frac34} \]

\[ (f\circ f\circ f)(x)=\sqrt{\left(\sqrt{\left(\sqrt{\left(x-\frac32\right)^2+\frac34}-\frac32\right)^2+\frac34}-\frac32\right)^2+\frac34} \]

...

por lo que si reemplazamos \( (\underbrace{f\circ f\circ\dots\circ f}_{\text{\(n\) veces}})(x) \) por \( a_n \), obtenemos:

\[ a_{n+1}=\sqrt{\left(a_n-\frac32\right)^2+\frac34} \]

o lo que es lo mismo reescribiendo los subíndices:

\( a_n = \sqrt{(a_{n-1} - \dfrac{3}{2})^2 + \dfrac{3}{4}} \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, necesito ayuda para probar que para la función \( f(x)= \sqrt{x^2-3x+3} \), se tiene que \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{f^n(x)}=1 \). Gracias.

Para la convergencia puedes analizar:

\( |f(x)-1|=|\sqrt{x^2-3x+3}-1|=\dfrac{|x^2-3x+2|}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}=\dfrac{|x-1||x-2|}{\sqrt{x^2-3x+3}} \)

Comprueba que \( \dfrac{|x-2|}{\sqrt{x^2-3x+3}}< 1 \), deduce que:

\( |f^{n+1)}(x)-1|<|f^{n}(x)-1| \)

Por tanto la sucesión \( |f^{n}(x)-1| \) es estrictamente decreciente y no negativa y así convergente.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Otra forma es ver que \( |f'(x)| < 1 \).