Buenas,
En un ejercicio se nos da una afinidad que deja fijos el punto \( P=(2,1,1) \), el plano \( \pi: z=0 \) y la recta \( r: x+z=2, y=0 \). Se nos da como sugerencia adaptar un sistema de referencia \( R \) para resolverlo.
Cuando dice que deja fijos entiendo que fija el punto y deja invariante la recta y el plano, ya que si deja fijos todos los puntos de la recta y los del plano el problema conduce de forma trivial a la identidad.
Mi idea es usar como origen del nuevo sistema de referencia \( R \) la intersección de la recta y el plano (llamémosle \( O \)) y luego usar como ejes un vector del plano, el vector director de la recta y el vector director de la recta que une \( O \) y \( P \), quedando \(\{O;e_1,e_2,e_3\}\) respectivamente.
Así, la afinidad dejaría el origen fijo, y la parte vectorial asociada actuaría como la identidad sobre \( OP \), y sobre el vector de la recta actuaría como una multiplicación por un escalar, no obstante por el plano no sabemos como actuaría, ¿no? ¿Transformaría \( (1,0,0) \) en cualquier otro vector? Después de construir la matriz de cambio de base, al cambiar de base el otro vector de la base del plano me queda un plano que hacen que en la matriz de la transformación queden aún varias incógnitas. Quedaría una afinidad del tipo:
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a & 0 & 0 \\
0 & b & \Lambda & 0 \\
0 & c & 0 & 1
\end{pmatrix}
No le veo ninguna ventaja a cambiar el sistema de referencia, aunque con una probabilidad cercana al 100% estoy omitiendo algo o haciendo algo mal.
¿Alguien sabría darme una indicación de como continuar el problema?
Gracias y un saludo.
