[tychobrahe]

Buenas a todos, tengo un ejercicio en el que se da un triángulo equilátero de lado \( a \) y se considera el lugar geométrico de los puntos del plano euclídeo tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres vértices vale \( \lambda a^2 \). Se pide estudiar el lugar geométrico en función de \( \lambda \).

Mi idea es construir una referencia cartesiana afín adaptada al triángulo usando sus vértices. Es decir, origen en \( A = (1,0,0) \) y ejes \( AB = (0,a,0) \) y \( AC = (0,0,a) \).

Podría decir aquí que la suma de las distancias al cuadrado de un punto genérico a cada uno de los vértices sería

\[ x^2 + y^2 + (x-a)^2 + y^2 + x^2 + (y-a)^2 \]

y en función del valor de \( \lambda \) clasificar la cónica resultante o al no ser los ejes inicialmente ortogonales para calcular la distancia tendría que usar la matriz de Gram y para el caso sería mejor no adaptar la referencia a las aristas del triángulo?

Un saludo.

[ani_pascual]

Hola:

Buenas a todos, tengo un ejercicio en el que se da un triángulo equilátero de lado \( a \) y se considera el lugar geométrico de los puntos del plano euclídeo tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres vértices vale \( \lambda a^2 \). Se pide estudiar el lugar geométrico en función de \( \lambda \).

Igual te sirve este hilo    
Por cierto, ¿no es en el plano euclídeo?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas a todos, tengo un ejercicio en el que se da un triángulo equilátero de lado \( a \) y se considera el lugar geométrico de los puntos del plano euclídeo tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres vértices vale \( \lambda a^2 \). Se pide estudiar el lugar geométrico en función de \( \lambda \).

Mi idea es construir una referencia cartesiana afín adaptada al triángulo usando sus vértices. Es decir, origen en \( A = (1,0,0) \) y ejes \( AB = (0,a,0) \) y \( AC = (0,0,a) \).

Podría decir aquí que la suma de las distancias al cuadrado de un punto genérico a cada uno de los vértices sería

\[ x^2 + y^2 + (x-a)^2 + y^2 + x^2 + (y-a)^2 \]

y en función del valor de \( \lambda \) clasificar la cónica resultante o al no ser los ejes inicialmente ortogonales para calcular la distancia tendría que usar la matriz de Gram y para el caso sería mejor no adaptar la referencia a las aristas del triángulo?

Efectivamente; si tomas esos vértices para que el triángulo sea equilátero, tienes que cambiar la métrica. Entonces no te líes. Toma los vértices como en el enlace que puso ani_pascual.

Saludos.

[tychobrahe]

Hola

Buenas a todos, tengo un ejercicio en el que se da un triángulo equilátero de lado \( a \) y se considera el lugar geométrico de los puntos del plano euclídeo tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres vértices vale \( \lambda a^2 \). Se pide estudiar el lugar geométrico en función de \( \lambda \).

Mi idea es construir una referencia cartesiana afín adaptada al triángulo usando sus vértices. Es decir, origen en \( A = (1,0,0) \) y ejes \( AB = (0,a,0) \) y \( AC = (0,0,a) \).

Podría decir aquí que la suma de las distancias al cuadrado de un punto genérico a cada uno de los vértices sería

\[ x^2 + y^2 + (x-a)^2 + y^2 + x^2 + (y-a)^2 \]

y en función del valor de \( \lambda \) clasificar la cónica resultante o al no ser los ejes inicialmente ortogonales para calcular la distancia tendría que usar la matriz de Gram y para el caso sería mejor no adaptar la referencia a las aristas del triángulo?

Efectivamente; si tomas esos vértices para que el triángulo sea equilátero, tienes que cambiar la métrica. Entonces no te líes. Toma los vértices como en el enlace que puso ani_pascual.

Saludos.

Mi duda era si para clasificar la cónica resultante en función de lambda podía usar simplemente un triángulo genérico (y en ese caso qué mejor que usar los lados como ejes) ya que después la cónica puede reducirse a su forma canónica, de hecho al estudiar la completación proyectiva he obtenido (usando tanto la referencia que expongo aquí como usando un sistema ortonormal) que las cónicas proyectivas son tres posibles: cónica regular no vacía, cónica vacía y punto doble y su intersección con la recta del infinito es el conjunto vacío. Es decir, obtengo en ambas referencias que la cónica afín es, respectivamente, una elipse, vacía y un punto.

Si aplicase un cambio de referencia a las cónicas obtenidas usando el sistema que planteo aquí, no serían las mismas obtenidas en ambos casos?

Gracias a ambos por sus respuestas.

Un saludo.