Hola..!
Sea C un curva regular y sean \( \alpha: I \subset{ \mathbb{R}} \rightarrow{C} \)
\( \beta: J \subset{ \mathbb{R}} \rightarrow{C} \) dos parametrizaciones de C en un entorno de \( p \in \alpha(I) \cap \beta(J) = W \). Sea \( h = \alpha^{-1} \circ \beta: \beta^{-1}(W) \rightarrow \alpha^{-1}(W) \) el cambio de parametros. Demuestre que h es un difeomorfismo
Sabemos que \( h = \alpha^{-1} \circ \beta \) y \( \beta \) es diferencial, para que h sea diferencial necesitamos que \( \alpha^{-1} \) sea diferenciable, ya que composicion h por ser composicion de diferenciales, es tambien diferenciable
mi duda es...¿Como demuestro que \( \alpha^{-1} \) es diferenciable?
No puedes demostrar que \( \alpha ^{-1} \) es diferenciable en el marco normal de diferenciación en espacios euclídeos porque \( C \) no es un espacio euclídeo. Lo que tienes que hacer es demostrar que \( h \) es diferenciable, para eso puedes ver que \( \alpha \circ h=\beta \), por tanto si \( h \) fuese diferenciable debería cumplirse que \( (\alpha '\circ h)h'=\beta ' \), siendo \( h' \) la derivada de una función real.
Por tanto si encuentras que, para cada \( t \), existe una constante \( k(t) \) tal que \( (\alpha _j'\circ h)(t)\cdot k(t)=\beta _j'(t) \) para ambos \( j\in \{1,\ldots ,n\} \) asumiendo que \( C\subset \mathbb{R}^n \) (es decir, si escribimos \( \alpha \) como \( (\alpha _1,\ldots ,\alpha _n) \) y \( \beta \) como \( (\beta _1,\ldots ,\beta _n) \)) entonces tal función \( t\mapsto k(t) \) sería el único candidato posible para \( t\mapsto h'(t) \). Quedaría por demostrar que, efectivamente, \( h' \) existe y es igual a \( k \).
Aclaro que yo no veo muy claro cómo seguir con la demostración, pero lo de arriba es lo único que se me ha ocurrido de momento.
Actualización: el problema desde luego no es trivial. Según leo
aquí una forma de demostrar que \( h \) es diferenciable es hallar un difeomorfismo local del espacio donde esté alojada la curva para darle una forma trivial en el nuevo espacio, utilizando para ello el teorema de la función inversa. Ésa es una idea, aunque sigo sin ver claro cómo encontrar tal difeomorfismo del espacio donde es encuentra la curva.
Continuación: supongamos que \( C\subset \mathbb{R}^n \) para algún \( n \) y que tanto \( \alpha \) como \( \beta \) son parametrizaciones regulares (ya que de otro modo sería falso en general que \( h \) es un difeomorfismo). Entonces, si \( \alpha (t_0)=p \) como \( \alpha '(t_0)\neq 0 \) entonces al menos una de las coordenadas de \( \alpha '(t_0) \) no se anula.
Entonces supongamos, sin pérdida de generalidad, que \( \alpha '_1(t_0)\neq 0 \). Entonces del teorema de la función inversa sabemos que existe \( \epsilon >0 \) tal que \( \tilde \alpha _1:I_0\to \tilde I_0,\, t\mapsto \alpha _1(t) \) es un difeomorfismo, para \( I_0:=(t_0-\epsilon ,t_0+\epsilon ) \) y \( \tilde I_0:=\alpha _1(I_0) \). Si ahora definimos \( \gamma :\tilde I_0\to \mathbb{R}^n,\, s\mapsto (s,(\alpha _2\circ \alpha _1^{-1})(s)) \) entonces \( \gamma \) es una parametrización regular (local) de \( C \), con la ventaja de que en esta parametrización \( C \) aparece como el gráfico de una función real, lo que simplifica el análisis. Como por construcción \( \gamma \circ \alpha _1=\alpha \) en \( I_0 \) entonces tenemos que
\( \displaystyle{
\alpha ^{-1}=\alpha _1^{-1}\circ \gamma ^{-1},\text{ en }U:=\gamma (\tilde I_0)
} \)
donde \( \gamma ^{-1}(s,t)=s \) en \( U \). Entonces en \( J:=\beta ^{-1}(U) \) tenemos que
\( \displaystyle{
\alpha ^{-1}\circ \beta =\alpha _1^{-1}\circ \gamma ^{-1}\circ \beta =\alpha ^{-1}_1\circ \beta _1
} \)
Quedaría por demostrar que \( J \) contiene algún intervalo abierto, tras lo cual al ser tanto \( \alpha _1 \) como \( \beta _1 \) funciones reales la diferenciabilidad de \( h \) en \( J \) es evidente. Pero
\( \displaystyle{
J=(\beta ^{-1}\circ \alpha )(I_0)=(\beta ^{-1}\circ \gamma )(\tilde I_0)=(\gamma ^{-1}\circ \beta )^{-1}(\tilde I_0)=\beta _1^{-1}(\tilde I_0)
} \)
ya que tanto \( \gamma \) como \( \beta \) son invertibles. Y como \( \tilde I_0 \) es un intervalo abierto y \( \beta _1 \) continua, entonces \( J \) es un conjunto abierto.
Corrección: he cambiado un poco el texto de arriba añadiendo más cosas para ser lo más claro posible.
