[alexis.sokorov]

Buenas noches a todos! Podrían echarme una mano con este ejercicio? No sé ni por donde empezar:

**Ejercicio 6.**



Un cilindro uniforme de masa \( M = 0.25 \, \text{kg} \) y radio \( R = 0.60 \, \text{m} \) que puede girar sin rozamiento alrededor de un eje vertical está acoplado a un resorte de torsión de constante \( \kappa = 0.25 \, \text{Nm/rad} \). Una cuerda sin masa arrollada sobre el cilindro está sujeta en su extremo libre a una caja de masa \( m = 0.5 \, \text{kg} \) que se encuentra sobre un plano horizontal. El contacto entre la caja y el plano es liso. Inicialmente, el sistema está en reposo y el resorte de torsión está sometido a una deformación angular de tal manera que, al soltarse el sistema, el cilindro comienza a girar enrollando la cuerda. La aceleración \( a \) de la caja cuando la deformación angular es \( 120^\circ \) es:

\[
a) \quad a = 1.1 \, \text{m/s}^2 \quad b) \quad a = 0.4 \, \text{m/s}^2 \quad c) \quad a = 1.6 \, \text{m/s}^2 \quad d) \quad a = 2.3 \, \text{m/s}^2 \quad e) \quad \boxed{a = 1.4 \, \text{m/s}^2}
\]


Había pensado en plantear torque sobre cilindro para poder hallar el valor de la fuerza "elástica" (supongo que es esa la que actúa sobre el mismo) $$F_e = I \alpha$$ pero no sabría cómo hallar la aceleración angular.

Me planteé utilizar energía: al comienzo hay energía elástica impartida por el resorte y al final hay rotacional y CREO que también traslacional, pero no estoy seguro de ésta última. Hallaría la velocidad angular y planteando cinemática podría conseguir la aceleración, pero no llego al resultado.

Aguardo respuestas.

Saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

Por favor no pongas el título todo en letras mayúsculas.

Intenta escribir el texto en el mensaja y reservar imagénes para gráficos complementarios.

[JCB]

Hola a tod@s.

Primero, aplicaría la segunda ley a la caja de masa \( m \).

\( \sum{F}=ma \)

\( T=ma \)

Después, la Dinámica de rotación al cilindro.

\( \sum{\tau}=I\alpha \). El momento que favorece el giro del cilindro, es el momento de torsión dado por el muelle \( (k\theta) \). El momento que va en contra del giro del cilindro, es el momento debido a la tensión \( T \) de la cuerda \( (TR) \). Además, como la cuerda no desliza sobre el cilindro, \( \alpha=\dfrac{a}{R} \).

\( k\theta-TR=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{a}{R} \). Despejando \( a \),

\( a=\dfrac{k\theta}{\left(\dfrac{M}{2}+m\right)R}=1,40\ m/s^2 \).

Nota: si deseas seguir recibiendo ayuda, deberías cumplir con la normativa del foro que te han indicado desde la administración.

Saludos cordiales,
JCB.

[alexis.sokorov]

\( \sum{\tau}=I\alpha \). El momento que favorece el giro del cilindro, es el momento de torsión dado por el muelle \( (k\theta) \). El momento que va en contra del giro del cilindro, es el momento debido a la tensión \( T \) de la cuerda \( (TR) \). Además, como la cuerda no desliza sobre el cilindro, \( \alpha=\dfrac{a}{R} \).

\( k\theta-TR=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{a}{R} \). Despejando \( a \),

Disculpa, ¿podrías explicarme por qué $$\tau = k\theta - TR$$ ? ¿Estarías tomando torque desde la parte de arriba del cilindro? ¿Por qué es negativo el torque de la tensión?

Luego las cuentas las entiendo, pero me cuesta visualizar por qué son esos signos para el torque.

[JCB]

Hola a tod@s.

Representa que inicialmente, tienes el muelle de torsión retorcido un ángulo \( \theta \). Por medio de algún pasador (o mecanismo de enclavamiento), se mantiene el cilindro en estado de reposo. Cuando liberas el pasador, el muelle de torsión quiere volver a su posición inicial. Luego, como ya he escrito en la respuesta # 1, el muelle favorece el movimiento del cilindro. Por el contrario, la caja de masa \( m \) realiza un momento resistente al giro del cilindro, porque la cuerda se va enrollando al cilindro, y tira de la caja.

Saludos cordiales,
JCB.

[Abdulai]

...
Me planteé utilizar energía: al comienzo hay energía elástica impartida por el resorte y al final hay rotacional y CREO que también traslacional, pero no estoy seguro de ésta última. Hallaría la velocidad angular y planteando cinemática podría conseguir la aceleración, pero no llego al resultado.

En ese caso sería plantear que la disminución de la energía elástica será igual a la ganada en cinética y rotacional.
\( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\underbrace{ (\frac{1}{2}MR^2)}_{I} \underbrace{\left(\frac{v}{R}\right)^2}_{\omega^2} - \frac{1}{2}\kappa \theta^2  = 0 \;\;\longrightarrow\;\; \frac{1}{2}\left(m+\frac{M}{2}\right)v^2 - \frac{1}{2}\kappa \theta^2  =0  \)

Derivando respecto del tiempo (ya que se mantiene constante) y teniendo en cuenta que \( \frac{dv^2}{dt}=2va \)  y  \( \frac{d\theta^2}{dt}=2\theta\omega=2\theta\frac{v}{R} \)
\( \left(m+\frac{M}{2}\right)v a - \kappa \theta \frac{v}{R}  =0 \;\;\longrightarrow\;\;a= \dfrac{2\kappa \theta}{R(M+2m)} \) 
Buena señal, igual que a JCB

[delmar]

Hola

\( \sum{\tau}=I\alpha \). El momento que favorece el giro del cilindro, es el momento de torsión dado por el muelle \( (k\theta) \). El momento que va en contra del giro del cilindro, es el momento debido a la tensión \( T \) de la cuerda \( (TR) \). Además, como la cuerda no desliza sobre el cilindro, \( \alpha=\dfrac{a}{R} \).

\( k\theta-TR=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{a}{R} \). Despejando \( a \),

Disculpa, ¿podrías explicarme por qué $$\tau = k\theta - TR$$ ? ¿Estarías tomando torque desde la parte de arriba del cilindro? ¿Por qué es negativo el torque de la tensión?

Luego las cuentas las entiendo, pero me cuesta visualizar por qué son esos signos para el torque.

Solamente para complementar, el resorte esta deformado inicialmente \( \theta=120º=\displaystyle\frac{2 \pi}{3} \) rad, el elemento que lo deforma puede ser un pasador o una mano fuerte (fines ilustrativos) en sentido antihorario mirando desde arriba, al soltar al resorte, este actúa sobre el cilindro, en sentido horario, haciendo girar y con ello enrolla a la cuerda y la caja se acelera a la derecha. Hay hipótesis respecto a la cuerda, sin masa y con longitud constante. Entiendo que JCB ha considerado positivo horario; pero eso no cambia el resultado, el cual es correcto.


Saludos