[luz mar]

Considerando un par de puntos en el plano, que se encuentran a igual distancia entre si que otro par de puntos en el plano, existe una isometría directa tal que transforma el primer par de puntos en el otro par ?

[Masacroso]

Considerando un par de puntos en el plano, que se encuentran a igual distancia entre si que otro par de puntos en el plano, existe una isometría directa tal que transforma el primer par de puntos en el otro par ?

Lo de "directa" no sé lo que quiere decir: las isometrías existen o no existen. En este caso si tienes un par de puntos separados una distancia \( r \), entonces para cualquier otro par de puntos separados una distancia \( r \) existe una isometría afín que mapea ese par de puntos al otro en el orden que quieras, es decir, si el primer par de puntos es \( A,B \) y el segundo es \( A',B' \) entonces existe una isometría afín \( p \) tal que \( p(A)=A' \), \( p(B)=B' \), y otra isometría afín \( q \) tal que \( q(A)=B' \) y \( q(B)=A' \).

Sin embargo si entendemos el plano no como espacio afín sino como espacio vectorial, entonces no tiene por qué existir ninguna isometría sobre pares de vectores a la misma distancia.

[luz mar]

Me explicaron que directa es una isometría de la forma \( f(Z) = aZ + b \)

[Masacroso]

Me explicaron que directa es una isometría de la forma \( f(Z) = aZ + b \)

Ah, pues en ese caso, asumiendo que \( Z \) es un punto del plano, que \( a\in \mathbb{R} \) y \( b \) sea un vector, no, no existe una isometría directa. Para verlo aplica la fórmula que te han dado a los pares de puntos \( (1,0),(0,0) \) y \( (0,1),(0,0) \) para ver que el sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas resultante no tiene soluciones para \( a\in \mathbb{R} \) y \( b=(b_1,b_2)\in \mathbb{R}^2 \).

Demostración

Observa que \( f(1,0)=a(1,0)+(b_1,b_2)=(a+b_1,b_2) \), por tanto si \( f(1,0)=(0,1) \) entonces \( a=-b_1 \) y \( b_2=1 \), pero entonces tendríamos que \( f(0,0)=(b_1,1)\neq (0,0) \). Algo semejante pasa si hacemos que \( f(1,0)=(0,0) \), entonces tenemos que \( f(0,0)\neq (0,1) \).∎

[cerrar]

[luz mar]

Gracias por tu respuesta, saludos !

[Luis Fuentes]

Hola

Me explicaron que directa es una isometría de la forma \( f(Z) = aZ + b \)

Esto me suena muy raro. Normalmente una isometría directa se refieres a aquella que conservan orientación e inversa la que la invierten.

En el plano son directas giros y traslaciones; inversas las simetrías. La composición de dos de igual tipo da una directa y de distinto da una inversa.

Algebraicamente una isometría es de la forma \( f(P)=AP+B \) donde \( A \) es una matriz ortogonal. Si tiene determinante \( 1 \) es directa; \( -1 \) inversa.

En este caso existe una directa. Se puede construir componiendo una traslación que lleve un punto del primer par en otro del segundo, con un giro que lleve luego el vector que une el primer par en el vector que une el segundo par. Este giro existe por ser vectores del mismo módulo (debido a que son pares de puntos equidistantes).

Saludos.