[mariasf]

El teorema de Fermat nos indica que no es posible obtener ternas de números enteros positivos x,a,b, tales que cumplan la ecuación:
\( x^{n}-a^{n}=b^{n} \)      (1)
n=número entero positivo; n>2
Factorizando la ecuación anterior:
\( (x^{n/2}+a^{n/2})(x^{n/2}-a^{n/2})=b^n \)
Si b es entero y se pretende encontrar valores de x,a enteros que cumplan la igualdad anterior, se puede expresar:
\( (x^{n/2}+a^{n/2})(x^{n/2}-a^{n/2})=b^n1^* \)
\( x^{n/2}+a^{n/2}=b^n \)       (2)
\( x^{n/2}-a^{n/2}=1 \)         (3)
de forma que los valores x,a enteros,  que cumplan la ecuación (1), deberán cumplir las ecuaciones (2) y (3).
Fijandonos en la ecuación (3), se comprueba que no pueden existir valores enteros de x,a que cumplan la ecuacion (3) ya que
la diferencia de dos potencias de bases x,a, (enteros), con x>a y exponente n/2, con n>2 es siempre mayor que la unidad, por lo que para
valores de b enteros no es posible encontrar valores enteros  x,a que cumplan la ecuacion (1)
Queda demostrado el Teorema de Fermat

*numerosprimosteorema.com

[sugata]

Igualas a \( b^{n}1 \) y no tiene porqué.
\( 6a\cdot 3=18\cdot 1 \)
¿Esto implica que \( 6a=18 \) y \( 3=1 \)?

[Luis Fuentes]

Hola

El teorema de Fermat nos indica que no es posible obtener ternas de números enteros positivos x,a,b, tales que cumplan la ecuación:
\( x^{n}-a^{n}=b^{n} \)      (1)
n=número entero positivo; n>2
Factorizando la ecuación anterior:
\( (x^{n/2}+a^{n/2})(x^{n/2}-a^{n/2})=b^n \)
Si b es entero y se pretende encontrar valores de x,a enteros que cumplan la igualdad anterior, se puede expresar:
\( (x^{n/2}+a^{n/2})(x^{n/2}-a^{n/2})=b^n1^* \)
\( x^{n/2}+a^{n/2}=b^n \)       (2)
\( x^{n/2}-a^{n/2}=1 \)         (3)
de forma que los valores x,a enteros,  que cumplan la ecuación (1), deberán cumplir las ecuaciones (2) y (3).
Fijandonos en la ecuación (3), se comprueba que no pueden existir valores enteros de x,a que cumplan la ecuacion (3) ya que
la diferencia de dos potencias de bases x,a, (enteros), con x>a y exponente n/2, con n>2 es siempre mayor que la unidad, por lo que para
valores de b enteros no es posible encontrar valores enteros  x,a que cumplan la ecuacion (1)
Queda demostrado el Teorema de Fermat

Ya exploraste las mismas ideas aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=120473.msg485597#msg485597

y ya se te indicaron los errores:

1- Nada garantiza que los factores \( (x^{n/2}\pm a^{n/2}) \) tengan que ser enteros, aunque \( x,a,b \) si lo sean.
2- El error que te comenta sugata. Sin añadir ningún argumento y condición extra, \( pq=b^n\cdot 1 \), \( p>q \) no te permite deducir que necesariamente \( q=1 \). 

Saludos.

[mariasf]

hola Luis y Sugata: Agradezco vuestro trabajo y el tiempo que me habéis dedicado.
Como al fin y al cabo esto es un foro, os contesto a vuestras observaciones lo siguiente:
1º.-Si tengo que resolver en valores enteros la ecuación:
\( pq=18 \)
con p,q enteros y p>q, descompondría;
(18)(1)
(9)(2)
(6)(3)
de forma que los pares de valores p,q que cumplen la ecuación anterior serán:
p=18; q=1;
p=9; q=2;
P=6; q=3;
Si tengo que resolver en términos de valores enteros el ejemplo aportado por sugata:
\( 6a3=18 \)
obviamente a=1
2º.-Si lo que buscamos son valores enteros de (x, a) para el supuesto de que b sea entero, los factores
\( x^{n/2}+a^{n/2} \)
\( x^{n/2}-a^{n/2} \)
han de ser enteros
Estos factores ya son enteros  cuando n es par con n>2, ya que los valores de x, a que se buscan son enteros
Por tanto se puede plantear las ecuaciones
\( x^{n/2}+a^{n/2}=b^n \)
\( x^{n/2}-a^{n/2}=1 \)
con el resultado de la demostración, es decir se podía considerar demostrado el teorema para valores de n pares con n>2
En la demostración se requiere, para cualquier n>2, que los factores:
\( x^{n/2}+a^{n/2} \)
\( x^{n/2}-a^{n/2} \)
sean enteros y ello conduce a que los términos:
\( x^{n/2} \)
\( a^{n/2} \)
sean enteros, y no considero que esta última condición sea una condición restrictiva para el resultado de 
la demostración, puesto que si n es impar existen valores de x, a, que generan valores enteros de:
\( x^{n/2} \)
\( a^{n/2} \)
concretamente aquellos en que tanto x como a sean potencias de 2, ó múltiplos de 2 (ej. x=25; 25^(3/2)=125)

Un saludo

[sugata]

Sigo viendo el mismo error.
No puedes descomponer \( b^2=b^2\cdot 1 \) y sacar dos ecuaciones de ahí

[Luis Fuentes]

Hola

2º.-Si lo que buscamos son valores enteros de (x, a) para el supuesto de que b sea entero, los factores
\( x^{n/2}+a^{n/2} \)
\( x^{n/2}-a^{n/2} \)
han de ser enteros
Estos factores ya son enteros  cuando n es par con n>2, ya que los valores de x, a que se buscan son enteros

Si \( n \) es par entonces si son enteros. Pero eso no te permite decir nada sobre el caso en que \( n \) sea impar.

Por tanto se puede plantear las ecuaciones
\( x^{n/2}+a^{n/2}=b^n \)
\( x^{n/2}-a^{n/2}=1 \)
con el resultado de la demostración, es decir se podía considerar demostrado el teorema para valores de n pares con n>2

No; porque ya te ha comentado sugata, y yo en este hilo, y yo en tu anterior hilo donde exponías la mismas ideas, que:

\( pq=b^n \) no equivale a que \( p=b^n \) y \( q=1 \)

sino que puede haber otras factorizaciones posibles. Que no puede darse  \( p=b^n \) y \( q=1 \), es sólo descartar una de esas posibilidades pero no todas las demás. Por tanto no habrías probado nada.

Y no tienes más que ir al caso \( n=2 \). Por ejemplo:

\( 15^2=17^2-8^2=(17+8)(17-8) \)

pero obviamente no es cierto que \( 17+8=15^2 \) y \( 17-8=1 \)

Saludos.

P.D. Pero te recuerdo una vez más que estás ideas ya las expusiste en el otro hilo y ya fueron refutadas. Entonces intenta no repetir las mismas cosas en diferentes hilos.