[petras]

Las diagonales de un trapecio inscrito en una circunferencia con centro \( O \) están en el punto M y forma un ángulo de \(  60° \).
Sabiendo que\(  MO = 2 \), la diferencia entre las bases de este trapecio es? (R: \( 2\sqrt3 \))

Hice la figura e intenté usar similitud de triángulos y trigonometría pero no pude encontrar la solución.

[electron]

Vista la figura, tenemos que el trapecio inscrito es isósceles. Llamemos \( a \) a su base mayor, \( b \) a la menor y \( R \) el radio de la circunferencia. Como el ángulo que forman las diagonales en \( M \) es \( 60^o \), los triángulos \( AMB \) y \( CMD \) son equiláteros.



Aplicamos el teorema del coseno a los triángulos \( AMO \) y \( DMO \):

\( R^2=a^2+4-4acos30^o=a^2+4-4a\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)
\( R^2=b^2+4-4bcos150^o=b^2+4+4b\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)

Ahora restamos:

\( 0=a^2-b^2-2a\sqrt[ ]{3}-2b\sqrt[ ]{3}=a^2-b^2-2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( a^2-b^2=2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( (a+b)(a-b)=2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( a-b=2\sqrt[ ]{3} \)

Saludos

[petras]

Vista la figura, tenemos que el trapecio inscrito es isósceles. Llamemos \( a \) a su base mayor, \( b \) a la menor y \( R \) el radio de la circunferencia. Como el ángulo que forman las diagonales en \( M \) es \( 60^o \), los triángulos \( AMB \) y \( CMD \) son equiláteros.



Aplicamos el teorema del coseno a los triángulos \( AMO \) y \( DMO \):

\( R^2=a^2+4-4acos30^o=a^2+4-4a\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)
\( R^2=b^2+4-4bcos150^o=b^2+4+4b\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)

Ahora restamos:

\( 0=a^2-b^2-2a\sqrt[ ]{3}-2b\sqrt[ ]{3}=a^2-b^2-2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( a^2-b^2=2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( (a+b)(a-b)=2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( a-b=2\sqrt[ ]{3} \)

Saludos

Agradecido

Saludos

[Pie]

Vista la figura, tenemos que el trapecio inscrito es isósceles. Llamemos \( a \) a su base mayor, \( b \) a la menor y \( R \) el radio de la circunferencia. Como el ángulo que forman las diagonales en \( M \) es \( 60^o \), los triángulos \( AMB \) y \( CMD \) son equiláteros.



Aplicamos el teorema del coseno a los triángulos \( AMO \) y \( DMO \):

\( R^2=a^2+4-4acos30^o=a^2+4-4a\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)
\( R^2=b^2+4-4bcos150^o=b^2+4+4b\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \)

Ahora restamos:

\( 0=a^2-b^2-2a\sqrt[ ]{3}-2b\sqrt[ ]{3}=a^2-b^2-2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( a^2-b^2=2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( (a+b)(a-b)=2\sqrt[ ]{3}(a+b) \)

\( a-b=2\sqrt[ ]{3} \)

Saludos

    

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Como el ángulo que forman las diagonales en \( M \) es \( 60^o \), los triángulos \( AMB \) y \( CMD \) son equiláteros.
...

Saludos