Voy a usar el Teorema Ergódico de Birkhoff a ver que tal me sale:
Consideremos la función \( \chi_A \) (función característica de \( A \)), sabemos que \( \chi_A \in L^1(\mu) \) y \( \int \chi_A d\mu= \mu(A)<\infty \).
Por el Teorema Ergódico de Birkhoff
\( \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\chi_A(f^i(x))=\widetilde{\varphi} \) existe \( \mu \)-casi en todas los puntos \( x\in M \) ; se tiene que \( \widetilde{\varphi} \) es constante \( \mu \)-ctp con
\( c=\int\widetilde{\varphi}(x)d\mu(x)=\int \chi_A(x)\mu(x)=\mu(A) \).
Aquí te falta aclarar que \( \tilde \varphi \) es constante c.t.p. cuando \( f \) es ergódica, pero aquí sólo tenemos que \( f \) es \( \mu \)-invariante. Igualmente, al menos una de las versiones del teorema, asegura que \( \tilde \varphi \) existe (no necesariamente constante) con la condición de que \( f \) sea meramente \( \mu \)-invariante.
Consideremos el promedio temporal de la intersección \( f^{-i}(A)\cap B \); dada por por
\( \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\mu(f^{-i}(A)\cap B) \).
Por ser \( \mu \) invariante, y por Teorema Ergódico de Birkhoff, entonces:
\( \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\chi_A(f^i(x))\chi_B(x)=\widetilde{\tau} \) existe \( \mu \)-casi en todas los puntos \( x\in M \) ;
Además,
\( t=\int \widetilde{\tau}(x)d\mu(x)=\int \chi_A(f^i(x))\chi_B(x) d\mu(x)=\mu(A)\mu(B) \)
Por lo tanto;
\( \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\mu(f^{-1}(A)\cap B)=\mu(A)\mu(B) \).
Todo bien, o al menos yo no veo ningún error.Corrección: revisando un libro de teoría ergódica hay algo erróneo en la conclusión
\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\mu(f^{-1}(A)\cap B)=\mu(A)\mu(B)
} \)
ya que esto sólo es cierto, para todo \( A,B \), cuando \( f \) es ergódica. La afirmación anterior a esa es errónea, es decir que la última igualdad
\( \displaystyle{
\int \widetilde{\tau}(x)d\mu(x)=\int \chi_A(f^i(x))\chi_B(x) d\mu(x)=\mu(A)\mu(B)
} \)
no es cierta en general si \( f \) es meramente \( \mu \)-invariante. Lo que falta en la demostración es observar que \( \tilde f(x):=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\chi_A(f^i(x)) \) es una función integrable, afirmación que también está incluída en el teorema de Birkhoff, y pot tanto \( \tilde f\cdot \chi_{B} \) es también integrable, luego como (usando la notación de mi mensaje anterior) \( |S_n \chi_{A}|\leqslant 1 \) para todo \( n \) entonces aplicando el teorema de convergencia dominada concluimos que
\( \displaystyle{
\int \tilde f\cdot \chi_{B}\,d \mu =\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\mu(f^{-1}(A)\cap B)
} \)
existe y es finito, como se quería probar.∎
