[Cabudare]

Hola, pueden ayudarme con el siguiente ejercicio: sea \( (M, A) \) un espacio medible y \( f: M\to M  \) una transformación medible. Demuestre que si \( p\in M \) es un punto periódico de periodo \( k \), entonces la medida \( \mu_p=\frac{1}{k}(\delta_p+\delta_{f(p)}+\ldots+\delta_{f^{k-1}(p)}) \) es ergódica.

Spoiler

\( \delta \) es la delta de Dirac y \( A \) es una \( \sigma \)-álgebra.

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Moderación: cambiado el título por algo más informativo, y corregido el \( \LaTeX \) ligeramente.

[Masacroso]

Es un ejercicio bastante trivial, se sigue directamente de la definición de medida ergódica para una función dada \( f \) y de la definición que te dan para \( \mu  \). Tienes que demostrar que \( \mu \circ f^{-1}=\mu  \) (es decir, que \( \mu  \) es invariante bajo \( f \)), que es bastante inmediato, y que si \( f^{-1}(A)=A \) para algún conjunto medible \( A \) entonces o bien \( \mu (A)=0 \) o bien \( \mu (A^\complement )=0 \). Como digo todo esto se deduce sin mucha dificultad de la definición de \( \mu  \) que te dan.

Muestra lo que hayas intentado y vamos viendo dónde te atascas.


Añadido: te dejo una pista (una pistaza más bien), por si te ves muy perdido. Si \( p\in M \) es un punto periódico de \( f \) de periodo \( k \) entonces \( f^n(p)\in\{p,f(p),\ldots ,f^{k-1}(p)\} \) para todo \( n\in \mathbb{N} \), o dicho de otro modo, la órbita de \( p \) bajo la acción de \( f \) por composición es de orden \( k \). Por tanto \( \delta _{f^j(p)}(A)=\delta _{f^{j+k}(p)}(A) \) para todo \( j\in \mathbb{N} \). Con esto deduces que \( \mu \circ f^{-1}=\mu  \).

Luego la segunda parte se sigue de que si \( f^{-1}(A)=A \) entonces \( \delta _{f^j(p)}(A)=\delta _{f^{j+1}(p)}(A) \) para todo \( j\in \mathbb{N} \).

[Cabudare]

Hola Masacroso, gracias por responder. Acá va mi versión.

Dado que \( p \) es un punto periódico de período \( k \) tenemos que  \( f^k(p)=p \); por lo tanto la órbita de \( p \) bajo la transformación f es \( \left\{{p, f(p), f^2(p), \ldots, f^{k-1}(p)}\right\} \).

Tenemos que \( f(f^i(p))=f^{i+1}(p) \), con \( i=0,1,2,\ldots, k-2 \), y \( f(f^{k-1}(p))=p \).


Debemos verificar que \( \mu_p \) es invariante bajo \( f \); es decir, debemos probar que \( \mu_p\circ f^{-1}=\mu_p \).

\( \mu_p(f^{-1}(A))=\frac{1}{k}\left(\delta_p(A)+\delta_{f(p)}(A)+\delta_{f^2(p)}(A)+\ldots+\delta_{f^{k-1}(p)}(A)\right)=\mu_p(A) \)

Por lo que \( \mu_p \) es invariante bajo \( f \).


Ahora debemos demostrar la ergodicidad, esto es, dado un conjunto medible \( A \) tal que \( f^{-1}(A)=A \) entonces \( \mu_p(A)=0 \) o \( \mu_p(A)=1 \).

Sea \( A \) un conjunto medible, tal que \( f^{-1}(A)=A \); si \( p\in A \) por la periocidad de \( p \) y ser \( A \) invariante bajo \( f \) tenemos que \( f(p)\in A \), más aún \( \left\{{p, f(p), f^2(p), \ldots, f^{k-1}(p)}\right\}\subseteq A \);

Por lo tanto, 

\( \mu_p(A)=\frac{1}{k}\left(\delta_p(A)+\delta_{f(p)}(A)+\delta_{f^2(p)}(A)+\ldots+\delta_{f^{k-1}(p)}(A)\right)=\frac{m}{k} \); donde \( m \) es el número de puntos de la órbita que están en \( A \); por la invarianza de \( A \) bajo \( f \) o \( m=0 \) o \( m=k \).

Por lo tanto; \( \mu_p(A)=1 \) o  \( \mu_p(A)=0 \)