[clopez]

Buenos días. ¿Me podrían ayudar con este ejercicio? Sean \( p \) y \( q \) primos distintos con \( p<q \).
a. Pruebe que todo grupo \( G \) de orden \( pq \) tiene un solo subgrupo de orden \( q \) que es normal en \( G \).
b. Si \( q \) no es congruente con 1 módulo \( p \) entonces \( G \) es Abeliano y cíclico.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días. ¿Me podrían ayudar con este ejercicio? Sean \( p \) y \( q \) primos distintos con \( p<q \).
a. Pruebe que todo grupo \( G \) de orden \( pq \) tiene un solo subgrupo de orden \( q \) que es normal en \( G \).
b. Si \( q \) no es congruente con 1 módulo \( p \) entonces \( G \) es Abeliano y cíclico.

No sé que resultados previos puedes utilizar. Si has dado los Teoremas de Sylow la cosa se simplifica.

De manera básica y autocontenida lo tienes explicado aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/67129/groups-of-order-pq-without-using-sylow-theorems

Saludos.

[clopez]

Hola

Buenos días. ¿Me podrían ayudar con este ejercicio? Sean \( p \) y \( q \) primos distintos con \( p<q \).
a. Pruebe que todo grupo \( G \) de orden \( pq \) tiene un solo subgrupo de orden \( q \) que es normal en \( G \).
b. Si \( q \) no es congruente con 1 módulo \( p \) entonces \( G \) es Abeliano y cíclico.

No sé que resultados previos puedes utilizar. Si has dado los Teoremas de Sylow la cosa se simplifica.

De manera básica y autocontenida lo tienes explicado aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/67129/groups-of-order-pq-without-using-sylow-theorems

Saludos.

Si, justo intentaba hacerlo usando los teoremas de Sylow.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si puedes usar los Teoremas de Sylow:

- Por el primer Teorema de Sylow existe al menos un subgrupo de orden \( q \).

- Por el Tercer teorema de Sylow el número \( n_q \) de subgrupos de orden \( q \) divide a \( p \). Luego \( n_q=1 \) ó \( n_q=p \). Además tal número \( n_q \) es igual a \( 1 \) modulo \( q \). Como \( p<q \), no puede ser \( n_q=p \) y así \( n_q=1 \).

- Como sólo hay un subgrupo de orden \( q \) tienen que ser normal (coincide con todos sus conjugados).

 Después parecido:

- Por el primer Teorema de Sylow existe al menos un subgrupo de orden \( p \).

- Por el Tercer teorema de Sylow el número \( n_p \) de subgrupos de orden \( p \) divide a \( q \). Luego \( n_p=1 \) ó \( n_p=q \). Además tal número \( n_p \) es igual a \( 1 \) modulo \( p \). Entonces si \( q\neq 1 \) mod \( p \) necesariamente \( n_p=1 \) y el subgrupo de orden \( p \) es único y por tanto normal.

 Pero un grupo con dos subgrupos normales cuyos órdenes son coprimos y su producto es el orden del grupo, es abeliano.

Saludos.

[clopez]

Muchas gracias.