Hola
Enunciado: Un profesor tiene dos docenas de libros de introducción a las ciencias de la computación e interesado en la forma en que tratan los temas: compiladores (A), estructuras de datos (B) e interpretes (C). Los siguientes datos representan la cantidad de libros que contienen material relativo a estos temas:
\[ \left |{A}\right |=8, \left |{B}\right |=13, \left |{C}\right |=13, \left |{A\cap{B}}\right |=5, \left |{A\cap{C}}\right |=3, \left |{B\cap{C}}\right |=6, \left |{A\cap{B\cap{C}}}\right |=2 \]
A) ¿Cuantos libros tienen al menos dos de estos temas en sus páginas?
\[ (A\cap{B}) \cup{(B\cap{C})}\cup{(A\cap{C})} \]= Conjunto Universal - \[ \left |{A}\right |-\left |{B}\right |-\left |{C}\right | \] - 2 (El 2 hace referencia a los libros que no refieren a ningun tema pero que forman parte del conjunto universal).
Esto me dio 10 libros.
Bien.
B) ¿Cuántos de ellos tienen a lo sumo dos de los temas tratados?
Para este tipo de ejercicios a mí siempre me gusta hacer un diagrama de Venn donde se reflejen claramente los diferentes sectores:
Al resolver el sistema de ecuaciones donde cada letra minúscula representa la cardinalidad de un conjunto, por ejemplo:
- \( |\mathcal{U}|=a+b+c+d+e+f+g+h=24 \) (en total hay \( 24 \) libros)
- \( |A|=8 \) representa \( a+b+d+e=8 \) (los libros que tratan sobre compiladores son \( 8 \) en total)
- \( |A\cap B|=5 \) representa \( b+e=5 \) (los libros que tratan sobre compiladores y estructuras de datos son \( 5 \) en total)
- etc.
se obtienen los siguientes valores:
\( a=2\\b=3\\c=4\\d=1\\e=2\\f=4\\g=6\\h=2, \)
donde \( h \) representa los libros que NO tratan ningún tema (o sea, tienen 0 temas tratados).
Así pues, los libros que tienen a lo sumo dos de los temas tratados se obtienen mediante el siguiente cálculo:
Cantidad de libros que tratan 0 temas + Cantidad de libros que tratan 1 tema + Cantidad de libros que tratan 2 temas\( a+b+c+d+f+g+h=|\mathcal{U}|-e=24-2=22 \), porque \( e \) representa la cantidad de libros que tratan los 3 temas.
Esta misma estrategia te podría haber servido también para contestar el primer punto:
"Los libros que tienen al menos dos de estos temas en sus páginas" son:
Cantidad de libros que tratan 2 temas + Cantidad de libros que tratan 3 temas\( b+d+e+f=3+1+2+4=10 \).
Saludos
