[alucard]

Hola tengo el siguiente ejercicio que le di bastantes vueltas y no logro resolver

Las ecuaciones cartesianas de dos móviles A y B son respectivamente \( x+y=1\quad y-x=5 \). Ambos móviles desarrollan un MRUV.
Los datos del movimiento del móvil A son \( \vec{r_{0A}}=(1,0)\quad \left |{\vec{v}_{0A}}\right |=1m/s \quad \left |{\vec{a}_A}\right |=2 m/s^2 \) y su sentido de avance es de (1,0) a (0,1)

Los datos del movimiento del móvil B son \( \vec{r_{0B}}=(-5,0)\quad \left |{\vec{v}_{0B}}\right |=2m/s \quad \left |{\vec{a}_B}\right |=? m/s^2 \) y su sentido de avance es de (-5,0) a (0,5).

Determine 
a) La intersección de las trayectorias
b) la aceleración que debe tener el móvil B para encontrarse en ese punto con el móvil A

Básicamente no entiendo bien el item b, ni tampoco veo para que me dan de dato el sentido de avance, pensé en plantear las ecuaciones horarias con

\( y_A(t)=1+t+t^2\quad y_B(t)=-5+2t+0.5at^2 \)

pero no estoy llegando a nada 

[delmar]

Hola

Te aconsejo hagas un diagrama el punto de intersección es (-2,3) y se observa que las velocidades (misma dirección de la trayectoria) forman un ángulo de 45º con el eje X  el A con el semieje negativo y el B con el semieje positivo. Vectorialmente son \( \vec{V_A(0)}=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{2}}\vec{i}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}\vec{j} \) y \( \vec{V_B(0)}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{2}}\vec{i}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{2}}\vec{j} \)  y las aceleraciones de la misma manera con la consideración que son constantes en consecuencia :

\( \vec{a_A(t)}=\displaystyle\frac{-2}{\sqrt[ ]{2}}\vec{i}+\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{2}}\vec{j} \)


\( \vec{a_B(t)}=\displaystyle\frac{a}{\sqrt[ ]{2}}\vec{i}+\displaystyle\frac{a}{\sqrt[ ]{2}}\vec{j} \)


A  partir de aquí una forma , es partiendo de las aceleraciones hallar las velocidades y  posiciones en función del tiempo para A  por integración  :

\( \vec{a_A(t)}=x''_A\vec{i}+y''_A\vec{j} \) esto implica :

\( \displaystyle\frac{-2}{\sqrt[ ]{2}}=x''_A\Rightarrow{x'_A+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}}=\displaystyle\frac{-2}{\sqrt[ ]{2}}t \) Ec 1

\( \displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{2}}=y''_A\Rightarrow{y'_A-\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{2}}t} \) Ec 2

Ahí están las velocidades y por integración las posiciones en función del tiempo

\( x_A-1=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{2}}t-\displaystyle\frac{t^2}{\sqrt[ ]{2}} \) Ec 3


\( y_A=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}t+\displaystyle\frac{t^2}{\sqrt[ ]{2}} \) Ec 4

El tiempo T en el cual se encuentra A con B se corresponde con la posición (-2,3) punto de intersección en consecuencia de la Ec 3 o 4 se puede obtener :

\( -2-1=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{2}}T-\displaystyle\frac{T^2}{\sqrt[ ]{2}} \) se obtiene T

De una manera semejante partiendo de la aceleración de B se puede obtener la posición de B, es decir \( x_B(t), \ y_B(t) \) en función de t y a, la aceleración buscada es la que hace que en T (obtenido ya) B tenga la posición (-2,3), es suficiente considerar la abscisa o la ordenada cualquier de ellas.



Saludos

[alucard]

Antes que nada te agradezco el tiempo que te tomaste en detallarme el problema , lo entendí a la perfección tu planteo . lo que no me queda claro es la parte que dice "su sentido de avance", o sea,  ¿va y viene sobre la trayectoria, o que información me indica eso?

Por otro lado estaba viendo la resolución del problema , la cual transcribo tal cual esta, y la verdad no la entiendo muy bien, en la cual hacen lo siguiente

\( d_A=3\sqrt{2}=\left |{\vec{v}_A}\right |T+ 0.5\left |{\vec{a}_A}\right |T^2=T+T^2\longrightarrow{T=1.619 s} \) T:tiempo de encuentro

\( d_B=3\sqrt{2}=\left |{\vec{v}_B}\right |T+ 0.5\left |{\vec{a}_B}\right |T^2 \)

de ahí despejan el módulo de la aceleración

Lo que no entiendo es de donde a donde esta medida \( d_A, d_B \)

[electron]

Un camino alternativo algo más sencillo sin necesidad de ecuaciones diferenciales:

El móvil A parte de \( (1,0) \), el B de \( (-5,0) \) y sus trayectorias se cruzan en \( C(-2,3) \), lo cual se deduce fácilmente al resolver el sistema formado por \( {y=1-x,y=5+x} \).



La distancia que recorre el móvil A hasta el punto de cruce es \( d_A=|\vec{AC}|=\left |{(3,3)}\right |=\sqrt[ ]{18}m \) y la que recorre el B es \( d_B=|\vec{BC}|=\left |{(-3,3)}\right |=\sqrt[ ]{18}m \), es decir, la misma. Esto se debe a que sus trayectorias forman un triángulo isósceles entre los puntos A,B,C.

Dado que ambos describen un MRUA, se cumplirá que en el punto de cruce han recorrido la misma distancia y llegan en el mismo instante:

\( \sqrt[ ]{18}=1·t+\displaystyle\frac{1}{2}2t^2 \)

\( \sqrt[ ]{18}=2·t+\displaystyle\frac{1}{2}a_Bt^2 \)

(esta es la resolución que le indican a alucard)

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos: \( t=1.62s \) y \( a_B=0.77m/s^2 \).

Saludos

[alucard]

Hola

Dado que ambos describen un MRUA, se cumplirá que en el punto de cruce han recorrido la misma distancia y llegan en el mismo instante:

\( \sqrt[ ]{18}=1·t+\displaystyle\frac{1}{2}2t^2 \)

\( \sqrt[ ]{18}=2·t+\displaystyle\frac{1}{2}a_Bt^2 \)

Una consulta , entendí el procedimiento , pero no me queda claro porque esas son las ecuaciones horarias que planteas, no serian

\( y_A(t)=1+1·t+\displaystyle\frac{1}{2}2t^2 \)

\( y_B(t)=-5+2·t+\displaystyle\frac{1}{2}a_Bt^2 \)

 

[ani_pascual]

Hola:

Una consulta , entendí el procedimiento , pero no me queda claro porque esas son las ecuaciones horarias que planteas, no serian

\( y_A(t)=1+1·t+\displaystyle\frac{1}{2}2t^2 \)

\( y_B(t)=-5+2·t+\displaystyle\frac{1}{2}a_Bt^2 \)

 

Lo que sucede es que en la ecuación \( d_A=v_0t+\dfrac{1}{2}a_At^2\Longleftrightarrow 3\sqrt{2}=t+t^2 \) se considera que \( d_A=|\vec{r}-\vec{r}_0| \) es la distancia recorrida por el móvil \( A \) en su trayecto del punto \( (1,0) \) al punto \( (-2,3) \). Análogamente con el \( B \)
Saludos

[electron]

Una consulta , entendí el procedimiento , pero no me queda claro porque esas son las ecuaciones horarias que planteas, no serian

\( y_A(t)=1+1·t+\displaystyle\frac{1}{2}2t^2 \)

\( y_B(t)=-5+2·t+\displaystyle\frac{1}{2}a_Bt^2 \)

Ojo, puedes emplear las ecuaciones únicamente en el eje \( y \) si quieres, pero en ese caso sólo debes usar las componentes \( a_{Ay} \) y \( a_{By} \) de las aceleraciones. La del móvil A la puedes deducir y emplear en las fórmulas, pero la del B la calculas resolviendo el sistema y eso no te permite hallar la aceleración pedida por completo. Habría que resolver otro sistema con el par de ecuaciones asociadas a las componentes \( x \).

Diría yo que es mejor trabajar con módulos de vectores, tal y como he puesto en mi anterior mensaje, y sale más rápido.

Un saludo

[alucard]

Les agradezco mucho sus respuestas y su tiempo y por compartir sus conocimientos, ya pude entender el problema.

Un abrazo desde Argentina