Hola:
"… ¿a qué distancia abajo del techo llegará por primera vez al reposo?...".
La interpretación que hago de esta frase, es que se pregunta por la longitud máxima que alcanza el muelle en el primer recorrido de descenso, hasta detenerse, para iniciar acto seguido, el recorrido de ascenso. En este supuesto, planteo la conservación de la energía mecánica:
\( mg\left(\dfrac{l_n}{2}\right)+\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{l_n}{2}\right)^2=mgl+\dfrac{1}{2}k(l-l_n)^2 \)
Lo que da lugar a una ecuación de segundo grado con una sola incógnita \( l \). Pero bueno, con enunciados de este tipo, se puede esperar cualquier cosa, así que se trata solo de una interpretación.
Estoy de acuerdo en que el enunciado es un poco confuso. A mí me parece que con
reposo se refiere al punto en el que resorte y masa están en equilibrio, es decir, sin moverse, lo cual se produce cuando el resorte se ha alargado una longitud \( \Delta l \) que se deduce de \( Mg=k\Delta l \); así se tendría que la masa estaría en
reposo a una distancia del techo \( ln+\Delta l=ln +\dfrac{Mg}{k} \). Al comprimir el resorte una cierta longitud, hasta que la longitud del resorte es la mitad de su longitud natural (sin masa), el sistema sale del equilibrio (del
reposo) y comienza a oscilar alrededor del
reposo con una amplitud igual a la longitud comprimida, en este caso, \( ln+\Delta l -\dfrac{ln}{2}=\dfrac{ln}{2}+\dfrac{Mg}{k} \), con lo que el punto más bajo del movimiento de la masa entonces, según esta interpretación, sería \( ln +\dfrac{Mg}{k}+\dfrac{ln}{2}+\dfrac{Mg}{k}=\dfrac{3ln}{2}+\dfrac{2Mg}{k} \)
No obstante, también veo lógica tu interpretación y, de hecho, resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene el mismo resultado:
\( l=\dfrac{3ln}{2}+\dfrac{2Mg}{k} \)
Saludos cordiales
