[AveFenix]

Hola, me gustaría saber como se resolvería esto gracias!

Consideremos el conjunto \( A = [0, 1) \) con el orden usual heredado de los reales y consideremos \( A_0 = A \):

1. ¿\( A_0 \) tiene alguna cota superior?,
2. ¿es acotado superiormente?
3. ¿En este espacio \( A \), se cumple la propiedad del supremo?
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

AveFenix: llevas más de 100 mensajes en el foro. Más que suficientes para conocer sus reglas. Por favor: no pongas el enunciado de tus dudas en imágenes. Tecléalas directamente en el mensaje. Creo que es un mínimo esfuerzo, que creo debería de ser más que compensado con la ayuda que desinteresadamente te prestan diversos usuarios.


En cuanto al problema sería bueno saber que has intentado y que dudas tienes. Es bastante inmediato todo.

Consideremos el conjunto \( A = [0, 1) \) con el orden usual heredado de los reales y consideremos \( A_0 = A \):

1. ¿\( A_0 \) tiene alguna cota superior?,

Si hablamos de cotas en los números reales, supongo que tienes claro que \( 1,2,1.5,234 \), y en definitiva cualquier número mayor o igual que uno es cota superior de \( A_0=[0,1) \), porque es mayor o igual que todos sus elementos.

Pero estamos trabajando sólo en \( A=[0,1) \). Cualquier número fuera de ahí es como si no existiera. ¿Hay entonces alguna cota superior?.

2. ¿es acotado superiormente?

Lo sería si tuviese alguna cota superior.

3. ¿En este espacio \( A \), se cumple la propiedad del supremo?

No se cumple si eres capaz de encontrar un subconjunto de \( A \) acotado superiormente, pero que no tenga supremo.

Intenta terminar el ejercicio; si no te sale o tienes dudas vuelve a preguntar.

Saludos.

[AveFenix]

Hola una disculpa, creí que lo había puesto además de la imagen que raro.

Asi lo pensé yo, pero no estaría seguro:

 Propiedad del supremo en \(A = [0, 1)\)

Definición: Un conjunto ordenado \(A\) se dice que tiene la propiedad del supremo si todo subconjunto no vacío \(A_0 \subseteq A\) que esté acotado superiormente tiene un supremo en \(A\).



 ¿\(A_0\) tiene alguna cota superior?

Consideremos el conjunto \(A_0 = A = [0, 1)\).

Dentro del conjunto \(A\):
- Para todo \(x \in A\), se tiene \(0 \leq x < 1\).
- Por lo tanto, cualquier número mayor o igual a 1 es una cota superior para \(A_0\), pero 1 no pertenece a \(A\).

 ¿\(A_0\) es acotado superiormente?

No por la pregunta anterior.

 ¿En este espacio \(A\), se cumple la propiedad del supremo?

Demostremos que A=[0,1) c R cumple el ax del supremo.


 Demostración

Sea \(A = [0, 1)\) y consideremos un subconjunto no vacío \(A_0 \subseteq A\) que esté acotado superiormente.

 Como \(A_0 \subseteq \mathbb{R}\) y \(A_0\) está acotado superiormente en \(\mathbb{R}\), existe un supremo \(M = \sup A_0\) en \(\mathbb{R}\).

 Supongamos que \(C\) es una cota superior de \(A_0\) en \(A\). Entonces, por definición, \(M \leq C < 1\). Por lo tanto, \(M < 1\).

 Como \(M\) es el supremo de \(A_0\) en \(\mathbb{R}\), para todo \(a \in A_0\), \(a \leq M\). Además, dado que \(A_0 \subseteq A\) y \(M < 1\), se concluye que \(M \in A\).

 Por otro lado, como \(M\) es el supremo de \(A_0\), se cumple que para todo \(a \in A_0\), \(a \leq M\).

 Dado que \(0 \leq a < 1\) para todo \(a \in A_0\), se tiene que \(0 \leq M < 1\), por lo tanto, \(M \in A\).



Por lo tanto, \(M = \sup A_0\) pertenece a \(A\). Esto implica que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(A\) tiene un supremo en \(A\). En consecuencia, el conjunto \(A = [0, 1)\) cumple con la propiedad del supremo.


Dado el caso agradecería la solución para poder hacer el resto.

[ani_pascual]

Hola,:

Hola una disculpa, creí que lo había puesto además de la imagen que raro.

Asi lo pensé yo, pero no estaría seguro:

 Propiedad del supremo en \(A = [0, 1)\)

Definición: Un conjunto ordenado \(A\) se dice que tiene la propiedad del supremo si todo subconjunto no vacío \(A_0 \subseteq A\) que esté acotado superiormente tiene un supremo en \(A\).



 ¿\(A_0\) tiene alguna cota superior?

Consideremos el conjunto \(A_0 = A = [0, 1)\).

Dentro del conjunto \(A\):
- Para todo \(x \in A\), se tiene \(0 \leq x < 1\).
- Por lo tanto, cualquier número mayor o igual a 1 es una cota superior para \(A_0\), pero 1 no pertenece a \(A\).

 ¿\(A_0\) es acotado superiormente?

Sí, \(A_0\) está acotado superiormente porque está contenido dentro del intervalo \([0, 1)\). La cota superior más pequeña es 1, aunque no pertenece a \(A\).

 ¿En este espacio \(A\), se cumple la propiedad del supremo?

Para verificar la propiedad del supremo, debemos considerar si todo subconjunto no vacío \(A_0 \subseteq A\) que esté acotado superiormente tiene un supremo en \(A\).

Consideremos el conjunto \(A_0 = A = [0, 1)\):

1. \(A_0\) está acotado superiormente por 1.
2. El supremo de \(A_0\) en el conjunto de los números reales es 1.
3. Sin embargo, 1 no pertenece a \(A\), ya que \(A = [0, 1)\).

 Demostración

 Sea \(A = [0, 1)\) un conjunto con el orden usual de los números reales. Consideremos el subconjunto \(A_0 = A\).
\(A_0\) está acotado superiormente por 1.
 El supremo de \(A_0\) en \(\mathbb{R}\) es 1.
Dado que \(1 \notin A\), el supremo de \(A_0\) no pertenece a \(A\).
 Por lo tanto, \(A\) no cumple con la propiedad del supremo, ya que existe un subconjunto acotado superiormente cuyo supremo no pertenece a \(A\).


Dado el caso agradecería la solución para poder hacer el resto.

Igual "meto la pata", pero me parece que si \( A_0=A=[0,1[ \), entonces \( A_0 \) no está acotado superiormente en \( A \) ya que no existe \( a\in A \) tal que \( a\geq x\,\forall\, x\in A_0 \)
Saludos

[AveFenix]

Ahi lo edite, porque ahora que lo pienso, si cumple la propiedad del supremo, no se que les parece.

[ani_pascual]

Hola:

Ahi lo edite, porque ahora que lo pienso, si cumple la propiedad del supremo, no se que les parece.

Concuerdo con que \( A \) verifica el axioma del supremo, pero cuando partes de un subconjunto arbitrario \( A_0 \) no vacío de \( A \) y acotado superiormente, creo que éste debería ser un subconjunto propio de \( A \), es decir, \( \emptyset\neq A_0\neq A \), ya que \( A \) no está acotado superiormente.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ahi lo edite, porque ahora que lo pienso, si cumple la propiedad del supremo, no se que les parece.

Si vas a plantear una solución TAN diferente, porque habías puesto una errónea, mejor hazlo en un nuevo mensaje. Has modificado por completo la primera respuesta que habías dado y eso descontextualiza la primera contestación que te dieron a la misma.

Edita un mensaje para corregir pequeñas erratas; y aun así resalta en rojo los cambios.

¿\(A_0\) tiene alguna cota superior?

Consideremos el conjunto \(A_0 = A = [0, 1)\).

Dentro del conjunto \(A\):
- Para todo \(x \in A\), se tiene \(0 \leq x < 1\).
- Por lo tanto, cualquier número mayor o igual a 1 es una cota superior para \(A_0\), pero 1 no pertenece a \(A\).

Yo aquí para dejarlo claro concluiría: por tanto, dado que trabajamos en \( A \) (y no en todos los reales), \( A_0 \) no tiene ninguna cota superior.

¿\(A_0\) es acotado superiormente?

No por la pregunta anterior.

Correcto.

¿En este espacio \(A\), se cumple la propiedad del supremo?

Demostremos que \( A=[0,1) \subset \Bbb R \) cumple el ax del supremo.

 Demostración

Sea \(A = [0, 1)\) y consideremos un subconjunto no vacío \(A_0 \subseteq A\) que esté acotado superiormente.

 Como \(A_0 \subseteq \mathbb{R}\) y \(A_0\) está acotado superiormente en \(\mathbb{R}\), existe un supremo \(M = \sup A_0\) en \(\mathbb{R}\).

 Supongamos que \(C\) es una cota superior de \(A_0\) en \(A\). Entonces, por definición, \(M \leq C < 1\). Por lo tanto, \(M < 1\).

 Como \(M\) es el supremo de \(A_0\) en \(\mathbb{R}\), para todo \(a \in A_0\), \(a \leq M\). Además, dado que \(A_0 \subseteq A\) y \(M < 1\), se concluye que \(M \in A\).

 Por otro lado, como \(M\) es el supremo de \(A_0\), se cumple que para todo \(a \in A_0\), \(a \leq M\).

 Dado que \(0 \leq a < 1\) para todo \(a \in A_0\), se tiene que \(0 \leq M < 1\), por lo tanto, \(M \in A\).

En lo que he marcado en rojo estás concluyendo dos veces lo mismo. Yo lo dejaría sólo en el de abajo, donde has probado explícitamente además de que \( M<1 \) también que \( M\geq 0 \) (aunque esto ya era casi evidente).

Por lo tanto, \(M = \sup A_0\) pertenece a \(A\). Esto implica que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de \(A\) tiene un supremo en \(A\). En consecuencia, el conjunto \(A = [0, 1)\) cumple con la propiedad del supremo.

Bien. Lo único en toda esta parte yo no hubiese llamado \( A_0 \) al subconjunto de \( A \) con el que trabajas, porque en los apartados anteriores \( A_0=A \) y eso crea confusión. Le hubiese puesto otro nombre cualquiera.

Concuerdo con que \( A \) verifica el axioma del supremo, pero cuando partes de un subconjunto arbitrario \( A_0 \) no vacío de \( A \) y acotado superiormente, creo que éste debería ser un subconjunto propio de \( A \), es decir, \( \emptyset\neq A_0\neq A \), ya que \( A \) no está acotado superiormente.

Pero no tiene porque suponer que es propio; el mero hecho de tomar un subconjunto de \( A \) acotado superiormente (¡en \( A \)!) ya implicará que es propio.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Pero no tiene porque suponer que es propio; el mero hecho de tomar un subconjunto de \( A \) acotado superiormente (¡en \( A \)!) ya implicará que es propio.

Ya, lo decía porque en su mensaje, cuando partía de un subconjunto no vacío y acotado superiormente, AveFenix contemplaba la posibilidad de que fuera \( A_0\subseteq A \), pero no puede ser \( A_0=A \), porque no está acotado superiormente, como comentas.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ya, lo decía porque en su mensaje, cuando partía de un subconjunto no vacío y acotado superiormente, AveFenix contemplaba la posibilidad de que fuera \( A_0\subseteq A \), pero no puede ser \( A_0=A \), porque no está acotado superiormente, como comentas.

Pero no se si me he explicado bien. Está bien que contemple esa posibilidad. El tiene que partir de un subconjunto cualquiera de \( A \) que sea acotado superiormente.

En principio no tiene porque dar por hecho que por ser acotado superiormente, no va a ser todo \( A \). Eso más adelante lo deduce implícitamente por ejemplo de aquí:

Como \(A_0 \subseteq \mathbb{R}\) y \(A_0\) está acotado superiormente en \(\mathbb{R}\), existe un supremo \(M = \sup A_0\) en \(\mathbb{R}\).

Supongamos que \(C\) es una cota superior de \(A_0\) en \(A\). Entonces, por definición, \(M \leq C < 1\). Por lo tanto, \(M < 1\).

Pero en cualquier caso nunca tiene porque decir explícitamente que \( A_0\neq A \).

Saludos.

[AveFenix]

De acuerdo, lo tendré en cuenta y no editaré el mensaje la próxima.

¿Podrían darme otro ejercicio similar? Así practico y sigo el hilo un poco más . Gracias y saludos