Hola
\( d_s:l(\mathbb{N})\longrightarrow{\mathbb{R}};d_s(a_n,b_n)=sup \){\( {\left |a_n-{}b_n\right |};\;n\in{\mathbb{N}} \)}.
1) Tengo dificultades para probar la Desigualdad Triangular para comprobar que es distancia.
Pues no es más que tener en cuenta que:
\( |a_n-c_n|\leq |a_n-b_n|+|b_n-c_n|\leq d(a,b)+d(b,c) \)
y por tanto:
\( d(a,c)=sup\{|a_n-c_n|,n\in \Bbb N\}\leq d(a,b)+d(b,c) \)
2) Me gustaría que me den una línea para calcular \( d_s(a_n,b_n) \) con \( a_n=\displaystyle\frac{ln(n+1)+2n}{n+1} \) y \( b_n=(-1)^n \)
Considera la función \( f(x)=\dfrac{ln(x+1)+2x}{x+1} \) y halla el máximo \( M \) (con \( x \) entero). Para ello nota que su derivada se anula en \( x_0=e^3-1 \) y la función es creciente antes y decreciente después.
Después teniendo en cuenta que \( b_n \) sólo toma dos valores comprueba que la distancia entre las sucesiones es \( M+1 \).
3) Considerando \( X\subseteq{l(\mathbb{N})} \) como el conjunto de las sucesiones acotadas cuyo recorrido es {\( {0,1} \)} debo probar que \( X \) es cerrado, investigar si es acotado y qué ocurre con su compacidad.
Que es cerrado y acotado es bastante inmediato. Inténtalo y pregunta las dudas.
Para ver que NO es compacto, considera la sucesión de sucesiones \( \{x^k\} \) con:
\( (x^k)_n=\begin{cases}{1}&\text{si}& n=k\\0 & \text{si}& n\neq k\end{cases} \).
y comprueba que no tiene ninguna subsucesión convergente.
Saludos.
