Hola
Necesito ayuda con un ejercicio de un práctico que dice así:
Sea \( T \) un operador normal sobre un espacio vectorial con producto interno complejo de dimension finita. Probar que existe un polinomio \( f \), con coeficientes complejos tal que \( T^*=f(T) \)
Por ser normal es diagonalizable es unitariamente diagonalizalbe. Si \( A=diag(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n) \) es la matriz asociada en la correspondiente base ortonormal entonces \( f(A)=diag(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots,f(\lambda_n)) \) y \( A^*=diag(\bar \lambda_1,\bar \lambda_2,\ldots,\bar \lambda_n) \).
Por tanto basta que tomes como \( f \) un polinomio que lleve los autovalores de \( T \) en sus conjugados. Ten en cuenta que dados \( x_1,\ldots,x_k \) e \( y_1,\ldots,y_k \) siempre puede construirse un polinomio tal que \( f(x_i)=y_i \).
Saludos.
