[sanderdrd]

Hola, tengo un problema para una demostracion. Creo que la idea va por todos los puntos que esten en el radio.

Para \( f(z)=z^2 \)
Determine una condición para que la órbita de \( z=cos(\Theta )+isen(\Theta ) \), con \( \Theta \in [0, 2\pi) \), sea finita.

[martiniano]

Hola.

Ten en cuenta que:

\[ f(\cos \theta +i\sin\theta) =f(e^{i\theta}) =e^{2i\theta} \].

De donde \[ f^n(e^{i\theta}) =e^{2^ni\theta} \].

Para que la órbita de \[ e^{i\theta}  \] sea finita deben existir \[ m, n \] distintos tales que  \[ f^n(e^{i\theta})=f^m(e^{i\theta}) \].

¿Puedes seguir?

[sanderdrd]

Había pensado mas bien en todos los \( z \in \mathbb{C} \) tal que \( |z|=1 \). Sin embargo, no se como seguir.

[martiniano]

Hola.

Si retomamos donde lo había dejado antes queda que para que la órbita sea finita deben existir \[ m, n\in{}\mathbb{N} \] tales que:

\[ e^{2^ni\theta} =e^{2^mi\theta}  \]

Luego \[ 2^n\theta=2a\pi+2^m\theta \] para algún \( a\in{} \mathbb{Z} \)

¿Puedes seguir ahora?

La conclusión a la que llego es que \[ \displaystyle\frac{\theta}{\pi}\in{\mathbb{Q}} \].