Hola a todos.
Entiendo que un grupo de Lie y un algebra de Lie son cosas diferentes, mientras que un grupo de Lie es:
\( x \in{G} / (G, .) \)
Esa operación debe cumplir con los siguientes axionas.
1 - Cerradura \( a, b \in{G} \rightarrow{} a.b = c / c \in{G} \)
2 - Asociatividad \( a.b.c = a.(b.c) = (a.b).c \)
3 - Existencia de elemento neutro o identidad \( a . I = a \)
4 - Existencia de elemento inverso \( a {a}^{-1} = I \)
Además, G tiene la estructura de una variedad diferenciable de dimensión finita. Esto significa que 𝐺 se puede cubrir con un atlas de cartas locales.
En cambio un algebra de Lie, se define sobre un espacio vectorial. Entiendo que un grupo se define en un conjunto que no es un espacio vectorial y debe cumplir con las propiedades antes mencionados y el algebra de Lie es una extensión de un espacio vectorial. ¿Es correcto esto?
Es decir, si V es un espacio vectorial, entonces g es un algebra de Lie si al espacio vectorial le agregamos una operación más, ¿es correcto?. Es decir, para el conjunto que constituye el algebra de Lie tendremos la operación suma, multiplicación por un escalar un un corchete de Lie, el cual no puede ser la suma. ¿También es correcto esto?
Los axiomas del algebra de Lie son:
Sea \( \mathfrak{g} \) un espacio vectorial sobre un campo \( \mathbb{F} \). Una álgebra de Lie es un espacio vectorial \( \mathfrak{g} \) equipado con una operación bilineal \([ \cdot, \cdot ] : \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \) llamada corchete de Lie, que satisface los siguientes axiomas:
1. **Bilinealidad**:
\[
[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]
\]
\[
[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]
\]
para todos \( x, y, z \in \mathfrak{g} \) y \( a, b \in \mathbb{F} \).
2. **Antisimetría**:
\[
[x, y] = -[y, x]
\]
para todos \( x, y \in \mathfrak{g} \).
3. **Identidad de Jacobi**:
\[
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
\]
para todos \( x, y, z \in \mathfrak{g} \).
Sea \( V \) un conjunto no vacío, \( \mathbb{F} \) un campo y sean \( + \) y \( \cdot \) dos operaciones que cumplen con las siguientes propiedades:
Axiomas de la Suma de Vectores
1. Cerradura bajo la suma:} Para todos \( u, v \in V \), el resultado de \( u + v \) también está en \( V \).
2. Asociatividad de la suma:} Para todos \( u, v, w \in V \), se cumple que \( (u + v) + w = u + (v + w) \).
3. Elemento neutro de la suma:} Existe un elemento \( 0 \in V \) tal que para todo \( v \in V \), se cumple que \( v + 0 = v \).
4. Elemento inverso aditivo:} Para cada \( v \in V \), existe un elemento \( -v \in V \) tal que \( v + (-v) = 0 \).
5. Conmutatividad de la suma:} Para todos \( u, v \in V \), se cumple que \( u + v = v + u \).
Axiomas de la Multiplicación por un Escalar
1. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar:} Para todo \( c \in \mathbb{F} \) y \( v \in V \), el resultado de \( c \cdot v \) también está en \( V \).
2. Distributividad de la multiplicación escalar respecto de la suma de vectores:} Para todo \( c \in \mathbb{F} \) y todos \( u, v \in V \), se cumple que \( c \cdot (u + v) = c \cdot u + c \cdot v \).
3. Distributividad de la multiplicación escalar respecto de la suma de escalares:} Para todos \( c, d \in \mathbb{F} \) y \( v \in V \), se cumple que \( (c + d) \cdot v = c \cdot v + d \cdot v \).
4. Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación del campo:} Para todos \( c, d \in \mathbb{F} \) y \( v \in V \), se cumple que \( c \cdot (d \cdot v) = (c \cdot d) \cdot v \).
5. Elemento neutro de la multiplicación escalar:} Para todo \( v \in V \), se cumple que \( 1 \cdot v = v \), donde \( 1 \) es el elemento identidad multiplicativa en \( \mathbb{F} \).
