Hola
Tienes que \( 0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2} \) para todo \( x\in [0,\pi/2] \), luego
\( \displaystyle 0 \leq \lim_{n\to\infty}f^n(x) \leq \lim_{n\to\infty} (\frac{1}{2} )^n = 0 \),
así que \( \displaystyle \lim_{n\to \infty} f^n(x) = 0 \).
Eren: creo que \( f^n(x) \) se refiere a la composición de \( f \) consigo mismo \( n \) veces, y no a la potencia. Con lo cual en ese caso tu argumento no vale.
\( f:[0,\displaystyle\frac{π}{2}]\rightarrow{}[0,\displaystyle\frac{π}{2}]/f(x)=\frac{cos(x)}{2} \)
Pruebe que \( \forall{x\in{[0,\displaystyle\frac{π}{2}]}}\;\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f^{n}(x)=a \) y que \( a \) no depende del punto \( x \) elegido.
No se muy bien que resultados previos has visto sobre puntos fijos, aplicaciones contractivas y estas cosas.
Te voy a dar unas ideas autocontenidas, que no necesitan gran bagaje previo.
En primer lugar si \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f^n(x)=a \), entonces por continuidad:
\( f(a)=f\left(\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f^n(x)\right)=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(f^n(x))=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f^{n+1}(x)=a \)
Es decir \( a \) es un punto fijo de \( f(x) \). Ahora si hubiese otro punto fijo distinto, \( b>a \) tendríamos por el Teorema del valor medio:
\( b-a=f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\quad \Rightarrow\quad f'(c)=1 \)
Pero en este caso \( f'(x)=-sin(x)/2\neq 1 \) para todo \( x \).
Por tanto si ese límite existe su valor \( a \) no depende del punto \( x \).
Por otra parte \( f(0)-0=1/2-0>0 \) y \( f(\pi/2)-\pi/2=0-\pi/4<0 \). Por tanto por ser una función continua \( f(x)-x \) se anula en \( (0,\pi/2) \) y así existe un punto \( a \), tal que \( f(a)-a=0 \), es decir, un punto fijo.
Con todo esto hemos probado que existe un único punto fijo \( a \).
Finalmente de nuevo por el teorema del valor medio:
\( |f^n(x)-a|=|f^n(x)-f^n(a)|\leq f'(c_1)|f^{n-1}(x)-f^{n-1}(a)|\leq (1/2)|f^{n-1}-f^{n-1}(a)| \)
Reiterando concluye que:
\( |f^n(x)-a|\leq (1/2)^n|x-a| \)
Termina...
Saludos.
