...demostrar que la ley de desplazamiento de Wien está incluida en la ley de Wien...
La
Ley de Wien es una aproximación de la Ley de Planck que es válida para frecuencias altas. La
Ley de Wien expresada en función de la longitud de onda es:
\( I_{\lambda}(\lambda, T) = \dfrac{C_1} {\lambda^5} \, e^{-\frac{C_2}{\lambda \ T}} \)
\( \lambda \) es la longitud de onda, \( T \) la temperatura y \( C_1 \) y \( C_2 \) constantes. Si
derivamos respecto de la longitud de onda obtenemos:
\( \dfrac{\partial I_{\lambda}}{\partial \lambda}=(C_2-5\lambda T) \, \dfrac{C_1}{\lambda^7 T} \, e^{-\frac{C_2}{\lambda \ T}} \)
Para buscar el máximo imponemos
\( \dfrac{\partial I_{\lambda}}{\partial \lambda}=0 \)
Y obtenemos
\( C_2-5\lambda_M T=0 \)
\( \lambda_M T=\dfrac{C_2}5 \)
Y por lo tanto:
\( \lambda_M T=b \)
Que es la
Ley de desplazamiento de Wien, c.q.d.
Saludos.
PD. Si \( h \) es la constante de Planck, \( c \) es la velocidad de la luz y \( k_B \) es la constante de Boltzmann, el valor de las constantes \( C_1 \) y \( C_2 \) de la Ley de Wien es:
\( C_1=2 h c^2 \)
\( C_2=\dfrac{h c}{k_B} \)
Y por lo tanto:
\( b=\dfrac{h c}{5 k_B} \)
