Buenas noches, aquí de nuevo, este curso me trae de los pelos 
¿me dan una mano?
Admitiendo que \( ( C_{[0,1]}, d_\infty) \) es completo. \( C_{[0,1]} \) es el conjunto de las funciones continuas en \( [0,1] \). Sea \( Ω:C_{[0,1]}\longrightarrow{C_{[0,1]}} \) tal que:
\( Ω(φ)(x)=\displaystyle\int_{o}^{x}(φ)(t)dt \). Además \( d_\infty:C_{[0,1]}\times{}C_{[0,1]}\rightarrow{}\mathbb{R} \) tal que:\( d(f,g)=\displaystyle\int_{a}^{b}\left |{f(x)-g(x)}\right |dx \)
¿Se le puede aplicar el Teorema del Punto fijo a \( Ω \) o a \( Ω^2 \)?
Si alguien se anima una solucíon detallada se agradece de corazón.
De teoremas de puntos fijos no recuerdo ahora mismo ninguno más que el de Banach, y no veo muy claro que se pueda aplicar aquí. En principio tienes que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
d_{\infty }(\Omega (f ),\Omega (g))&=\int_{0}^1 \left| \int_{0}^x (f(t)-g(t))\,d t \right|\,d x\\
&\leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^x |f(t)-g(t)|\,d t \,d x\\
&=\int_{0}^1 \int_{t}^1 |f(t)-g(t)|\,d x\,d t,&&\text{ después de aplicar el teorema de Tonelli }\\
&=\int_{0}^1 |f(t)-g(t)|(1-t)\,d t\\
&=(1-\xi )d_{\infty }(f,g),&&\text{ para algún }\xi \in[0,1]
\end{align*}
} \)
Entonces si \( f\neq g \) tienes que \( (1-\xi )<1 \), y por tanto tienes una contracción para ese par \( (f,g) \), pero no se puede decir que \( \Omega \) sea una contracción porque ese valor de \( 1-\xi \) depende del par de funciones que se tome. Es decir, no se tienen las condiciones para aplicar el teorema del punto fijo de Banach. Eso suponiendo que no esté obviando algo.
Para \( \Omega ^2 \) obtienes un resultado similar
\( \displaystyle{
d_{\infty }(\Omega ^2(f),\Omega ^2(g))\leqslant \frac{(1-\xi )^2}{2}d_{\infty }(f,g),\quad \text{ para algún }\xi \in[0,1]
} \)
Pero además debo decirte que ese espacio no es completo. El espacio que completa el espacio \( C_{[0,1]} \) bajo la norma \( \int_{0}^1 |f(x)|\,d x \) (norma que define la métrica \( d_{\infty } \)) es el espacio de Lebesgue, que no está compuesto únicamente de clases de funciones que puedan ser representadas por funciones continuas.
¿No será \( d_{\infty }(f,g) \) quizás la distancia dada por \( \sup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)| \) y te has liado con las notaciones? Porque en ese caso sí es cierto que \( C_{[0,1]} \) sería completo. Pero en tal caso \( \Omega \) seguiría sin ser una contracción: toma \( f\equiv 1 \) y \( g\equiv 0 \), entonces tendrías que \( d_{\infty }(\Omega (f),\Omega (g))=d_{\infty }(f,g)=1 \).
