[SoloSeQueNoSeNada]

Buenos días! No entiendo el siguiente problema.

Calcula la masa de m para que baje y suba a una aceleración de \( 2m/s^2 \) en estas condiciones:



Donde la masa de M es 0,2kg, la velocidad es 4π rad y el radio es 0'5m.

Si estuviese en equilibrio la tensión sería de 0,4N y la masa de m = 0,04kg, pero no entiendo como calcular dicha masa para que baje y suba. Como lo hago? :'(

Gracias por su ayuda!

[ani_pascual]

Hola:

...
Gracias por su ayuda!

Si no estoy equivocado...
La tensión es \( T=M\omega^2R \). Si la masa \( m \) sube con una aceleración \( a=2\,m/s^2 \) se ha de cumplir \( T-mg=ma\Longleftrightarrow M\omega^2R=m(a+g)\Longleftrightarrow m=\dfrac{M\omega^2R}{a+g}=2,68\,kg \). Si la masa \( m \) baja con una aceleración \( a=2\,m/s^2 \) se ha de cumplir \( mg-T=ma\Longleftrightarrow M\omega^2R=m(g-a)\Longleftrightarrow m=\dfrac{M\omega^2R}{g-a}=4,05\,kg \).
Saludos

[delmar]

Hola

En esas condiciones se intuye la variación del radio (distancia de M al huequito) y deslizamiento de la cuerda. Haciendo un análisis general referencia XYZ, origen en el huequito, XY plano de la mesa, eje X horizontal positivo hacia la derecha eje Y horizontal positivo hacia adentro y eje Z vertical positivo hacia arriba. En esto momento no tengo formularios y pues voy a deducir el vector posición \( \vec{R}(t) \), velocidad y aceleración usando coordenadas polares :

\( \vec{R}(t)=r cos \theta \vec{i}+r sen \theta \vec{j} \)

\( \vec{v}(t)=(-r \ sen \theta \  \theta'+r' cos \theta)\vec{i}+(r \ cos \theta \  \theta'+r' sen \theta)\vec{j} \)

\( \vec{a}(t)=(-r sen \theta \ \theta''-r cos \theta \ \theta'^2-2r' sen \theta \ \theta'+r'' cos \theta)\vec{i}+(r cos \theta \ \theta''-r sen \theta \ \theta'^2+2r' cos \theta \ \theta'+r'' sen \theta)\vec{j} \)

Donde r y \( \theta \) son funciones de t

Considerando que no hay rozamiento las fuerzas sobre el sistema M, cuerda, m son verticales, luego el torque externo sobre este sistema es nulo respecto al eje Z, luego cantidad de movimiento angular del sistema se conserva especialmente de la masa M, entonces :

\( \vec{r}(t) \ X \ M\vec{v}(t)=C\Rightarrow{r^2 \theta'=C, \ \forall{t}} \)

Derivando se obtiene una expresión útil \( r \theta''+2 r' \theta'=0\Rightarrow{r \theta''=-2 r' \theta'} \) sustituyendo en la expresión general de la aceleración se obtiene :

\( \vec{a}(t)=(-r cos \theta \ \theta'^2+r'' cos \theta)\vec{i}+(-r sen \theta \ \theta'^2+r'' sen \theta)\vec{j} \)

Considerando que los vectores unitarios radial y tangencial son \( \vec{u_r}=cos \theta\vec{i}+sen \theta\vec{j}, \ \ \vec{u_{\theta}}=-sen \theta\vec{i}+cos \theta\vec{j} \)

\( a_r=<\vec{a}(t), \vec{u_r}>=-r\theta'^2+r'' \)

\( a_{\theta}=<\vec{a}(t), \vec{u_{\theta}}>=0 \) Como era de esperar no hay rozamiento y la fuerza pone en tensión a la cuerda.

Considerando la longitud de la cuerda constante L, se tiene : \( L=r-z\Rightarrow{r'=z'}\Rightarrow{r''=z''} \) donde z es la posición de la masa m y es negativa esta debajo de la mesa. Ahora si aplicar la segunda Ley de Newton a ambas masas :

\( Ma_r\vec{u_r}=-T\vec{u_r}\Rightarrow{M(r''-r\theta'^2)=-T}\Rightarrow{M(z''-r\theta'^2)=-T} \) la fuerza que ejerce la cuerda tiene sentido contrario al vector radial

\( T-mg=mz'' \) la tensión en la cuerda es la misma

Resolviendo :

\( m=\displaystyle\frac{-M(z''-r\theta'^2)}{g+z''} \)

\( z''=-2\Rightarrow{m=2.076} \) kg

\( z''=2\Rightarrow{m=1.304} \) kg





Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Alternativamente, también se puede plantear el ejercicio introduciendo una fuerza de inercia \( F_i=Ma_n=M\omega^2R \).

a) Masa \( m \) bajando:

Dinámica para la masa \( M \).

\( \sum{F}=Ma \)

\( T-F_i=Ma \)

\( T-M\omega^2R=Ma \)

\( T=M(a+\omega^2R) \) (a1)

Dinámica para la masa \( m \).

\( -T+mg=ma \)

\( T=m(g-a) \) (a2)

Igualando (a1) con (a2),

\( M(a+\omega^2R)=m(g-a) \)

\( m=\dfrac{M(a+\omega^2R)}{g-a}=2,08\ kg \).

b) Masa \( m \) subiendo:

Dinámica para la masa \( M \).

\( \sum{F}=Ma \)

\( -T+F_i=Ma \)

\( -T+M\omega^2R=Ma \)

\( T=M(\omega^2R-a) \) (b1)

Dinámica para la masa \( m \).

\( T-mg=ma \)

\( T=m(a+g) \) (b2)

Igualando (b1) con (b2),

\( M(\omega^2R-a)=m(a+g) \)

\( m=\dfrac{M(\omega^2R-a)}{a+g}=1,30\ kg \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a todos, convengamos que la ecuación  a la que se llega es


$$m=M\dfrac{\omega^2r\pm a}{g\mp a}$$


Ahora bien ese calculo solo se corresponde con un solo instante, el inicial por ejemplo, ya que un instante posterior $$r$$ ya no es 50 cm.


Para mantener la aceleración  constante la masa $$m$$ debe variar de valor para que no se conserve el momento  angular, si se ma tiene la velocidad angular,  ya que esta conservación es lo que sucederá físicamente, es decir si la masa $$M$$ es constante al variar el radio , varia la velocidad angular y la aceleración  resultante no es constante.
Como dice el enunciado esa será la aceleración "en estas condiciones" iniciales  y no para instantes después.

[delmar]

De una manera sencilla, y resumida,  la no existencia de rozamiento entre la masa M y la mesa y el hecho que la tensión de la cuerda corta al eje Z, implica que el torque de las fuerzas que se ejercen sobre M respecto al eje Z, es cero, esto implica que la cantidad de movimiento  angular de M respecto al eje z, se conserva, entonces \( r^2\theta'=r^2w=C, \ \ \ \forall{t} \)

La segunda ley de Newton suponiendo que la tensión de la cuerda T(t) , es la misma en toda la cuerda, para un instante t genérico,  lleva a las ecuaciones :

Masa M
Dirección radial \( \vec{u_r} \)

\( -T=M(r''-r\theta'^2) \) Ec 1

Dirección tangencial \( \vec{u_{\theta}} \)

\( 0=M0=0 \)

Masa m

\( T-mg=mz'' \) Ec 2

La suposición de constancia de la longitud de la cuerda implica necesariamente \( r'=z'\wedge r''=z'' \)

De las Ec 1 y 2 se establece para todo t : \( mz''+mg=Mr\theta'^2-Mz''\Rightarrow{(m+M)z''=Mr\theta'^2-mg} \)

Despejando \( z''=\displaystyle\frac{Mr\theta'^2-mg}{(m+M)} \)

Y esto es una función del tiempo, para m, M constantes, por que como dice Richard R Richard, el radio varía.

Saludos

[ani_pascual]

Hola SoloSeQueNoSeNada:

Buenos días! No entiendo el siguiente problema.
...

Aparte de que tampoco sé nada  , te pregunto: ¿de qué nivel académico es el problema? ¿bachiller, universitario, ...? ¿Tienes la respuesta?
Saludos