[ferr]

Hola
Para estudiar la convergencia de integrales impropias hay varios criterios, donde uno de esos es el criterio de convergencia absoluta. Estaba aplicándolo a la integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)dx \), dónde usé que \( \left |{\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)}\right |\leq 1 \) y comparé la integral original con la integral \( \displaystyle\int_{0}^{1}1dx \), la cual es convergente. La verdad es que sigo teniendo duda debido a que el comportamiento de \( \sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) \)acerca del 0 es totalmente distinto al comportamiento de 1 por lo cuál no sé si está bueno y me piden aplicar este criterio. Agradecería si me pueden ayudar, gracias.

[Masacroso]

Un criterio de convergencia absoluta, no sé si el mismo que tienes tú, es el siguiente: si \( f \) es Riemann-integrable en todo subintervalo cerrado de \( (a,b) \) y la integral impropia de Riemann dada por \( \int_{a}^b |f(x)|\,d x \) está bien definida y es finita entonces la integral impropia de Riemann \( \int_{a}^b f(x)\,d x \) está bien definida y es finita.

Otro criterio es que si \( |f| \) es Riemann-integrable en todo subintervalo cerrado de \( (a,b) \) y además está acotada, digamos por un \( M>0 \), y \( \int_{a}^b M \,d x \) existe y es finita, entonces la integral impropia de Riemann \( \int_{a}^b |f(x)|\,d x \) existe y es finita.

Aplicando el segundo criterio tienes que la función \( x\mapsto |\operatorname{sen}(1/x)| \) es impropiamente Riemann-integrable en \( (0,1) \), y del primer criterio que la función sin valores absolutos también es impropiamente Riemann-integrable en \( (0,1) \).

Nota: en lo anterior por integral impropia de Riemann me refiero a la integral que es impropia en uno o en ambos extremos del intervalo \( (a,b) \).

[Juan Pablo Sancho]

Pero la integral que propones no es impropia, es acotada y continua excepto un punto \( x = 0 \) luego integrable Riemmann.
Otra cosa es que hagas el cambio \( u = \dfrac{1}{x}  \) y la vuelvas impropia.
\( \displaystyle \int_0^1 \sen(\dfrac{1}{x}) \ dx = \int_1^{+\infty} \dfrac{\sen(u)}{u^2} \ du  \) y puedes usar la acotación que propones \( |\sen(u)| \leq 1 \) para ver que es integrable.

[Masacroso]

Pero la integral que propones no es impropia, es acotada y continua excepto un punto \( x = 0 \) luego integrable Riemmann.

A veces se dice que es impropia cuando el integrando no está definido en alguno de los puntos de la región de integración.

[Juan Pablo Sancho]

Pues nada.
Gracias por la aclaración Masacroso.
Entendía que en general  ese caso es cuando no era acotada que sería la segunda especie de impropia, por que si es de Riemmann de antemano no sé.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero la integral que propones no es impropia, es acotada y continua excepto un punto \( x = 0 \) luego integrable Riemmann.

A veces se dice que es impropia cuando el integrando no está definido en alguno de los puntos de la región de integración.

Aunque es cierto lo que dices Masacroso, más allá de que se le llame o no impropia, concuerdo en el fondo de la cuestión con lo que dice Juan Pablo.

Si la función es acotada y nuestro único problema es que no está definida en un punto, no tienen sentido tratarla como integrales impropias no acotadas o sobre intervalos no acotados). Basta definirlas de cualquier manera en ese punto (no afectará a la integral ni a su integrabilidad) y fuera cualquier atisbo de "impropiedad".

En este caso como bien dice Juan Pablo es acotada y continua salvo en un punto: por tanto integrable.

Saludos.

[Masacroso]

Aunque es cierto lo que dices Masacroso, más allá de que se le llame o no impropia, concuerdo en el fondo de la cuestión con lo que dice Juan Pablo.

Si la función es acotada y nuestro único problema es que no está definida en un punto, no tienen sentido tratarla como integrales impropias no acotadas o sobre intervalos no acotados). Basta definirlas de cualquier manera en ese punto (no afectará a la integral ni a su integrabilidad) y fuera cualquier atisbo de "impropiedad".

En este caso como bien dice Juan Pablo es acotada y continua salvo en un punto: por tanto integrable.

Saludos.

Sí, todo eso lo sé. Pero es el propio ferr quien está tomando a la integral como impropia, y supuse que así se lo habían asignado y en base a eso hice la argumentación. Por eso mi intención en el comentario que hice a Juan Pablo era sacar a relucir que podía ser el caso de que a ferr se lo hayan enseñado así.