Hola
Hola, no tengo ni idea como hacer el siguiente problema.
Sean \[ a,b,c\in \mathbb{Z} \]. Pruebe que \[ ac\equiv bc \left( mod\: n \right ) \] si y sólo si \[ a\equiv b\, \left ( mod\, \frac{n}{(n,c)} \right ) \].
Ten en cuenta que si \( d=(n,c) \) entonces existen enteros \( x,y \) tales que \( xn+yc=(n,c) \).
Si \( ac\equiv bc \left( mod\: n \right) \) entonces:
\( (a-b)c=nk \)
y multiplicando por \( y \):
\( (a-b)cy=nyk\quad \Rightarrow{}\quad (a-b)((n,c)-nx)=nyk\quad \Rightarrow{}\quad (a-b)(n,c)=n(yk+x(a-b))\quad \Rightarrow{}\quad a-b=\dfrac{n}{(n,c)}(yk+x(a-b)) \)
y por tanto \( a\equiv b\, \left ( mod\, \frac{n}{(n,c)} \right ) \).
- Reciprocamente si \( a\equiv b\, \left ( mod\, \frac{n}{(n,c)} \right ) \), entonces:
\( a-b=\dfrac{n}{(n,c)}k \)
\( ac-bc=n\cdot \dfrac{c}{(n-c)}k \)
y por tanto:
\( ac\equiv bc \left( mod\: n \right) \)
Saludos.
