[josepapaiii]

Buenos días, tengo el siguiente ejercicio:

Sea

\( A \) una matriz sobre \( \mathbb{C} \) tal que \( chA=(x+1)^6(x-2)^3 \)y \( minA=(x+1)^3(x-2)^2 \). Listar las posibles FCJ para \( A \), y en cada caso escribir las correspondientes formas canónicas racional y racional primaria. Hacer lo mismo para \( chA=(x+1)^7(x-1)^4(x+2) \), \( minA=(x+1)^3(x-1)^2(x+2) \).

Quisiera saber si lo que he hecho estaría bien. Esto sería para el primer caso.

Caso 1.

El polinomio característico es \( p(x)=(x+1)^2(x-2)^3 \), con raíces \( x=-1 \) y \( x=2 \) y por tanto los valores propios serán \( \lambda_1=-1 \) y \( \lambda_2=2 \).

Como el polinomio mínimo es \( m(x)=(x+1)^3(x-2)^2 \), obtenemos la siguiente información:

• Para \( \lambda_1=-1 \): 

\( m_a(-1)=6 \) y \( m_g(-1)=3 \). Entonces, la FCJ será una cadena de bloques de Jordan de tamaño 6, donde 3 bloques corresponden al valor propio \( -1 \). La forma canónica de Jordan primaria será similar a la FCJ.

• Para \( \lambda_2=2 \)

\( m_a(2)=3 \) y \( m_g(2)=2 \). Entonces la FCJ asociada será una cadena de bloques de Jordan de tamaño 3, donde dos bloques corresponden al valor propio \( 2 \). La forma canónica de Jordan primaria sería similar a la FCJ.
[/list]

Estas son las posibles FCJ y FCJP para ambos casos:

\( \left[\begin{matrix}-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0  \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right] \).

¿Sería correcto?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días, tengo el siguiente ejercicio:

Sea \( A \) una matriz sobre \( \mathbb{C} \) tal que \( chA=(x+1)^6(x-2)^3 \)y \( minA=(x+1)^3(x-2)^2 \). Listar las posibles FCJ para \( A \), y en cada caso escribir las correspondientes formas canónicas racional y racional primaria. Hacer lo mismo para \( chA=(x+1)^7(x-1)^4(x+2) \), \( minA=(x+1)^3(x-1)^2(x+2) \).

Quisiera saber si lo que he hecho estaría bien. Esto sería para el primer caso.

Caso 1.

El polinomio característico es \( p(x)=\color{red}(x+1)^2\color{black}(x-2)^3 \), con raíces \( x=-1 \) y \( x=2 \) y por tanto los valores propios serán \( \lambda_1=-1 \) y \( \lambda_2=2 \).

Como el polinomio mínimo es \( m(x)=(x+1)^3(x-2)^2 \), obtenemos la siguiente información:

Ahí tienes una errata. Supongo que querías poner \( p(x)=\color{red}(x+1)^6\color{black}(x-2)^3 \).

Para \( \lambda_1=-1 \): 
\( m_a(-1)=6 \) y \( m_g(-1)=3 \). Entonces, la FCJ será una cadena de bloques de Jordan de tamaño 6, donde 3 bloques corresponden al valor propio \( -1 \). La forma canónica de Jordan primaria será similar a la FCJ.

No es cierto que la multiplicidad geométrica sea \( 3 \). El polinomio mínimo no da información directa sobre la multiplicidad geométrica, sino sobre el tamaño de la caja más grande asociada al correspondiente autovalor.

Lo que sabemos es que \( -1 \) tiene una caja de Jordan de tamaño  \( 3 \). Dado que en total la multiplicidad algebraica de este autovalor es \( 6 \) las posibles descomposiciones en cajas de Jordan según tamaño son:

\( 3+1+1+1,3+2+1,3+3 \).

Y análogamente \( 2 \) tiene asociada una caja de Jordan de tamaño \( 2 \). Como la multiplicidad algebraica es \( 3 \) necesariamente tenemos una caja de Jordan de tamaño \( 2 \) y otra de tamaño \( 1 \).

Por tanto las posibles formas de Jordan serían \( 3 \):

\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill  0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill  1 & \hfill 0 &\hfill  0 &\hfill  0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & -1 & \hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill  0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill  1 & \hfill 0 &\hfill  0 &\hfill  0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & -1 & \hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}
-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill  0 &0 &0 &0 \\
\hfill 0 & -1 &\hfill  1 & \hfill 0 &\hfill  0 &\hfill  0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & -1 & \hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 &0 &0 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 & \hfill 0&0 &0 &0 \\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill -1 & \hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & -\hfill 1 &0 &0 &0\\
\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &2 &1 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &2 &0\\
\hfill 0 &\hfill  0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &0 &0 &2\\
\end{pmatrix} \)

Saludos.

[josepapaiii]

Hola

Hola, Luis.

Muchas gracias por tu respuesta, muy elaborada, creo que he entendido el ejercicio, estoy elaborando el segundo caso para mostrarlo (creo que tiene más casuísticas). Por otro lado, ¿qué quiere decir: formas canónicas racional y racional primaria?.

Saludos.

[josepapaiii]

El polinomio característico es \( chA=(x+1)^7(x-1)^4(x+2) \), con raíces \( x=-1 \), \( x=1 \) y \( x=-2 \), por tanto los valores propios serán \( \lambda_1=-1 \), \( \lambda_2=1 \) y \( \lambda_3=-2 \).

Respecto a la información que nos da el polinomio mínimo \( minA=(x+1)^3(x-1)^2(x+2) \), sabremos la caja más grande asociada al correspondiente autovalor:

## Para \( \lambda_1=-1 \)

Tendrá tamaño \( 3 \) y puesto que la multiplicidad algebraica es \( 7 \) las posibles descomposiciones en cajas de Jordan según el tamaño serían:

\( 3+1+1+1+1 \), \( 3+2+1+1 \), \( 3+2+2 \), \( 3+3+1 \).

## Para \( \lambda_2=1 \)

Tendrá tamaño \( 2 \) y puesto que la multiplicidad algebraica es \( 4 \) las posibles descomposiciones en cajas de Jordan según el tamaño serían:

\( 2+1+1 \), \( 2+2 \).

## Para \( \lambda_3=-2 \)

Sólo habría un bloque de tamaño \( 1 \) y sería diagonal.

## Los bloques \( J_{ij} \) con \( \lambda_1=-1 \), \( \lambda_2=1 \), \( \lambda_3=-2 \)

### Para \( \lambda_1=-1 \)

\( J_{11}=\begin{bmatrix}
  \hfill-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill-1 & \hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill-1 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill-1 \\
\end{bmatrix},J_{12}=\begin{bmatrix}
  \hfill-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill-1 & \hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 1 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill-1 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill-1 \\
\end{bmatrix}, \)

\( J_{13}=\begin{bmatrix}
  \hfill-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill-1 & \hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 1 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill-1 &\hfill 1 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill-1 \\
\end{bmatrix},J_{14}=\begin{bmatrix}
  \hfill-1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill-1 & \hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 & \hfill 1 &\hfill 0 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill-1 &\hfill 1 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill-1 &\hfill 0 \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 0 &\hfill 0 &\hfill-1 \\
\end{bmatrix}. \)

### Para \( \lambda_2=1 \)

\( J_{21}=\begin{bmatrix}
  \hfill 1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 1 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 1 & \\
\end{bmatrix},J_{22}=\begin{bmatrix}
  \hfill 1 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 1 & \hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 1 & \hfill 1 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill 0 & \hfill 1 & \\
\end{bmatrix}. \)

### Para \( \lambda_3=-2 \)

Como hemos comentado, será un bloque de tamaño \( 1 \), lo que habrá un bloque diagonal de ese tamaño, así \( J_{31}=-2 \)


Ahora, las distintas posibilidades que tendríamos para la matriz \( J \) serían las siguientes:

\( J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{11} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{21} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix},J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{11} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{22} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix},J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{12} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{21} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix}, \)

\( J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{12} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{22} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix},J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{13} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{21} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix},J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{13} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{22} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix}, \)

\( J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{14} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{21} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix},J=\begin{pmatrix}
  \hfill J_{14} &\hfill 0 & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill J_{22} & \hfill 0 & \\
  \hfill 0 &\hfill 0 & \hfill-2 & \\
\end{pmatrix}. \)

¿Sería esto correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

  Está bien.

Saludos.

[josepapaiii]

Hola

  Está bien.

Saludos.

Hola, Luis. Muchísimas gracias, sin tu ayuda no lo hubiese entendido.

Saludos.