[Yushoprox]

Hola, quisiera saber como podría empezar a realizar el siguiente ejercicio, no se si pueda aplicar propiedades de los determinantes en este caso y si es así, cuales me recomiendan? Saludos...

\( Demuestre: \)

\( detA= \)\begin{vmatrix}
a-b-c & 2a & 2a \\
2b & b-c-a & 2b \\
2c & 2c & c-a-b
\end{vmatrix}\( =(a+b+c)^3 \)

[Abdulai]

\( Demuestre: \)

\( detA= \)\begin{vmatrix}
a-b-c & 2a & 2a \\
2b & b-c-a & 2b \\
2c & 2c & c-a-b
\end{vmatrix}\( =(a+b+c)^3 \)

Llamo \( p=a+b+c \)

Sumo a la 1er fila la 2da y la 3ra \( \begin{vmatrix}
p & p & p \\
2b & b-c-a & 2b \\
2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix} \)

y ahora resto la 1er columna a la 2da y luego a la 3ra  \( \begin{vmatrix}
p &  0 & 0 \\
2b & -p & 0 \\
2c & 0 & -p  \end{vmatrix} \)

Resulta una matriz triangular cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

[electron]

Una forma:

Con las operaciones:

\( C1\rightarrow{C1-C3} \)
\( C2\rightarrow{C2-C3} \)
\( F3\rightarrow{F3+F1} \)
\( F3\rightarrow{F3+F2} \)

\( \begin{vmatrix} a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix} -a-b-c & 0 & 2a \\ 0 & -a-b-c & 2b \\ a+b+c & a+b+c & c-a-b \end{vmatrix}=\\=
\begin{vmatrix} -a-b-c & 0 & 2a \\ 0 & -a-b-c & 2b \\ 0 & a+b+c & a+c-b \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix} -a-b-c & 0 & 2a \\ 0 & -a-b-c & 2b \\ 0 & 0 & a+b+c \end{vmatrix}=\\=
[-(a+b+c)]^2·(a+b+c)=(a+b+c)^3
 \)

dado que al final queda una matriz triangular superior cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

Saludos

[Yushoprox]

\( Demuestre: \)

\( detA= \)\begin{vmatrix}
a-b-c & 2a & 2a \\
2b & b-c-a & 2b \\
2c & 2c & c-a-b
\end{vmatrix}\( =(a+b+c)^3 \)

Llamo \( p=a+b+c \)

Sumo a la 1er fila la 2da y la 3ra \( \begin{vmatrix}
p & p & p \\
2b & b-c-a & 2b \\
2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix} \)

y ahora resto la 1er columna a la 2da y luego a la 3ra  \( \begin{vmatrix}
p &  0 & 0 \\
2b & -p & 0 \\
2c & 0 & -p  \end{vmatrix} \)

Resulta una matriz triangular cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Muchas gracias!!!

[Yushoprox]

Una forma:

Con las operaciones:

\( C1\rightarrow{C1-C3} \)
\( C2\rightarrow{C2-C3} \)
\( F3\rightarrow{F3+F1} \)
\( F3\rightarrow{F3+F2} \)

\( \begin{vmatrix} a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix} -a-b-c & 0 & 2a \\ 0 & -a-b-c & 2b \\ a+b+c & a+b+c & c-a-b \end{vmatrix}=\\=
\begin{vmatrix} -a-b-c & 0 & 2a \\ 0 & -a-b-c & 2b \\ 0 & a+b+c & a+c-b \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix} -a-b-c & 0 & 2a \\ 0 & -a-b-c & 2b \\ 0 & 0 & a+b+c \end{vmatrix}=\\=
[-(a+b+c)]^2·(a+b+c)=(a+b+c)^3
 \)

dado que al final queda una matriz triangular superior cuyo determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

Saludos

Muchas gracias! Saludos...