[dresuer]

El producto de dos polinomios es \( (x^6+1)^2-4x^6 \) y el cociente del MCM entre MCD de ambos es \( (x^2+1)^2-4x^2 \). Calcular el MCD.

MCM = Mínimo Común Múltiplo
MCD = Máximo Común Divisor

\( p(x)*q(x)=x^{12}-2x^6+1 \)

\( \displaystyle\frac{MCM\textrm{ de p(x)q(x)}}{MCD\textrm{ de p(x)q(x)}}=x^4-2x^2+1 \)

Sabemos que \( MCM*MCD = p(x)*q(x) \), dividiendo ambos terminos por MCD obtenemos:

\( \displaystyle\frac{MCM*MCD}{MCD} = \displaystyle\frac{p(x)*q(x)}{MCD} \Rightarrow{} (x^4-2x^2+1)*MCD=\displaystyle\frac{p(x)q(x)}{MCD} \Rightarrow{} MCD^2*(x^4-2x^2+1)= p(x)q(x) \Rightarrow{} \)
\( MCD^2 = \displaystyle\frac{p(x)q(x)}{x^4-2x^2+1} \Rightarrow{} MCD^2 = \displaystyle\frac{x^{12}-2x^6+1}{x^4-2x^2+1} \Rightarrow{}
 MCD = \pm{} \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{x^{12}-2x^6+1}{x^4-2x^2+1}}   \)

Es correcto este razonamiento o inventé algo 

Partí de esto: https://www.toppr.com/ask/question/the-gcd-of-two-polynomials-is-x-1-and-their-lcm-is-x6/

Ya lo solucioné usando el siguiente razonamiento:

[Luis Fuentes]

Hola

 La idea es correcta. Aunque a la hora de hacer las cuentas te puede ser útil notar que:

\( (x^6+1)^2-4x^6=(x^6+1-2x^3)(x^6+1+2x^3)=(x^3-1)^2(x^3+1)^2=\\=(x-1)^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)

\( (x^2+1)^2-4x^2)=(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)=(x-1)^2(x+1)^2 \)

 Siguiendo la idea:

\(  mcd^2=\dfrac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)

 de donde:

\( mcd=(x^2+x+1)(x^2-x+1)=(x^2+1)^2-x^2 \).

Saludos.

[dresuer]

Hola

 La idea es correcta. Aunque a la hora de hacer las cuentas te puede ser útil notar que:

\( (x^6+1)^2-4x^6=(x^6+1-2x^3)(x^6+1+2x^3)=(x^3-1)^2(x^3+1)^2=\\=(x-1)^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)

\( (x^2+1)^2-4x^2)=(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)=(x-1)^2(x+1)^2 \)

 Siguiendo la idea:

\(  mcd^2=\dfrac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)

 de donde:

\( mcd=(x^2+x+1)(x^2-x+1)=(x^2+1)^2-x^2 \).

Saludos.

Gracias.
A mi me quedó:

\( MCD^2 = \displaystyle\frac{(x^6+1)^2-4x^6}{(x^2+1)^2-4x^2} \Rightarrow{} MCD^2 = \displaystyle\frac{(x^6-1)^2}{(x^2-1)^2} \Rightarrow{} MCD = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{(x^6-1)^2}}{\sqrt[ ]{(x^2-1)^2}} \Rightarrow{} \)
\( MCD = \displaystyle\frac{x^6-1}{x^2-1} \Rightarrow{} MCD=x^4+x^2+1 \)

[Luis Fuentes]

Hola

\( MCD^2 = \displaystyle\frac{(x^6+1)^2-4x^6}{(x^2+1)^2-4x^2} \Rightarrow{} MCD^2 = \displaystyle\frac{(x^6-1)^2}{(x^2-1)^2} \Rightarrow{} MCD = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{(x^6-1)^2}}{\sqrt[ ]{(x^2-1)^2}} \Rightarrow{} \)
\( MCD = \displaystyle\frac{x^6-1}{x^2-1} \Rightarrow{} MCD=x^4+x^2+1 \)

Si. Es lo mismo:

\( (x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1 \)

Saludos.