Mientras llega
Richard, para \( K:=GMm \) y \( C=\frac{\dot r(0)^2}{2}-\frac{K}{r(0)} \) tienes que
\( \displaystyle{
\ddot r=-\frac{K}{r^2}\iff \ddot r\cdot \dot r=-K\frac{\dot r}{r^2}\iff \frac{(\dot r)^2}{2}=\frac{K}{r}+C
\iff \frac{|\dot r|\sqrt{r}}{\sqrt{2K+2Cr}}=1\iff \frac{|\dot r|r}{\sqrt{2Kr+2Cr^2}}=1
} \)
Si definimos \( s:=\operatorname{signo}(C) \) y \( C_1:=\frac{K}{2C} \) entonces la última expresión puede escribirse de la siguiente manera
\( \displaystyle{
\frac{r|dr|}{\sqrt{2Kr+2Cr^2}}=dt\iff \frac{r|dr|}{\sqrt{2|C|}\sqrt{s(Kr/C+r^2)}}=dt\iff \frac{r|dr|}{\sqrt{2|C|}\sqrt{s((r+C_1)^2-C_1^2)}}=dt\\
\iff \frac{r|dr|}{|C_1|\sqrt{2|C|}\sqrt{s((r/C_1+1)^2-1)}}=dt\iff \frac{\sqrt{2|C|}}{K}\cdot \frac{r|dr|}{\sqrt{s((r/C_1+1)^2-1)}}=dt
} \)
La última expresión se puede simplificar un poco más con el cambio de variable \( u=r/C_1+1 \). Igualmente queda una expresión que, al integrarla, da algo como lo expuesto por
Richard.
Continuación: asumiendo que \( C \) es negativa y con el cambio de variable \( r=|C_1|(1-u) \), tenemos que
\( \displaystyle{
\frac{\sqrt{2|C|}}K\cdot \frac{C_1^2 |1-u|}{\sqrt{1-u^2}}\,|d u|=dt\iff \frac{K}{(2|C|)^{3/2}}\cdot \sqrt{\frac{1-u}{1+u}}\,|d u|=dt
} \)
Resolviendo (con ayuda de Wolfram Mathematica) queda
\( \displaystyle{
\sqrt{1-u^2}+2\arctan \left(\sqrt{\frac{1+u}{1-u}}\right)=\frac{(2|C|)^{3/2}}{K}t+\sqrt{1-u(0)^2}+2\arctan \left(\sqrt{\frac{1+u(0)}{1-u(0)}}\right)
} \)
Si asumimos que \( \dot r(0)=0 \) entonces lo anterior queda
\( \displaystyle{
\sqrt{\frac{r}{r(0)}\left(1-\frac{r}{r(0)}\right)}+\arctan \left(\sqrt{\frac{r(0)}{r}-1}\right)=\frac{\sqrt{2K}}{r(0)^{3/2}}t
} \)
Finalmente con la identidad \( \arccos (x)=\arctan \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right) \) nos dejaría la misma fórmula de
Richard.
