[dresuer]

Existe alguna forma de simplificar la siguiente expresión sin tener que desarrollar todo.
\( \displaystyle\frac{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+4)(x+5)(x+7)-(x^2+9x+17)^2} \)

Wolfram me dice que el del resultado de \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{} \) es \( \displaystyle\frac{1}{9} \)

Perplexity.ai me respondió:

[Pie]

Es un poco rollo pero desarrollando sale (a falta de algo mejor ):

\[ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) - (x^2 + 7x + 11)^2 =  \]

\[ [x^4 + (2+3+4+5)x^3 + (6+8+10+12+15+20)x^2 + (2(12+15+20)+3\cdot{}20)x + 120] -[x^4+2\cdot{7}x^3 + (22+49)x^2 + (2\cdot{}7\cdot{11})x+11^2] =  \]

\[ =[x^4+14x^3+71x^2+154x+120]-[x^4+14x^3+71x^2+154x + 121]= - 1 \]

Si haces lo mismo con el denominador te saldrá \( -9 \), que coincide con el resultado que te da el wolfram..

Saludos.

[Abdulai]

Existe alguna forma de simplificar la siguiente expresión sin tener que desarrollar todo.
\( \displaystyle\frac{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+4)(x+5)(x+7)-(x^2+9x+17)^2} \)

Wolfram me dice que el del resultado de \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{} \) es \( \displaystyle\frac{1}{9} \)

Perplexity.ai me respondió:

Tiene su truco, nota que:
\( (x+2)(x+5)=x^2+7x+10=x^2+7x+11-1 \)
\( (x+3)(x+4)=x^2+7x+12=x^2+7x+11+1 \)
\( \;\;\longrightarrow\;\;(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)= (x^2+7x+11-1)(x^2+7x+11+1)=(x^2+7x+11)^2-1 \)

y lo mismo con el denominador:
\( (x+2)(x+7)=x^2+9x+14=x^2+7x+17-3 \)
\( (x+4)(x+5)=x^2+9x+20=x^2+7x+17+3 \)
\( \;\;\longrightarrow\;\;(x+2)(x+7)(x+4)(x+5)= (x^2+9x+17-3)(x^2+9x+17+3)=(x^2+9x+17)^2-9 \)


\( \therefore\quad \dfrac{(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+7)(x+4)(x+5)-(x^2+9x+17)^2}=\dfrac{-1}{-9}=\dfrac{1}{9} \)

[Pie]

Existe alguna forma de simplificar la siguiente expresión sin tener que desarrollar todo.
\( \displaystyle\frac{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+4)(x+5)(x+7)-(x^2+9x+17)^2} \)

Wolfram me dice que el del resultado de \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{} \) es \( \displaystyle\frac{1}{9} \)

Perplexity.ai me respondió:

Tiene su truco, nota que:
\( (x+2)(x+5)=x^2+7x+10=x^2+7x+11-1 \)
\( (x+3)(x+4)=x^2+7x+12=x^2+7x+11+1 \)
\( \;\;\longrightarrow\;\;(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)= (x^2+7x+11-1)(x^2+7x+11+1)=(x^2+7x+11)^2-1 \)

y lo mismo con el denominador:
\( (x+2)(x+7)=x^2+9x+14=x^2+7x+17-3 \)
\( (x+4)(x+5)=x^2+9x+20=x^2+7x+17+3 \)
\( \;\;\longrightarrow\;\;(x+2)(x+7)(x+4)(x+5)= (x^2+9x+17-3)(x^2+9x+17+3)=(x^2+9x+17)^2-9 \)


\( \therefore\quad \dfrac{(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+7)(x+4)(x+5)-(x^2+9x+17)^2}=\dfrac{-1}{-9}=\dfrac{1}{9} \)

   

He aquí algo mejor.

Saludos.

[dresuer]

Existe alguna forma de simplificar la siguiente expresión sin tener que desarrollar todo.
\( \displaystyle\frac{(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+4)(x+5)(x+7)-(x^2+9x+17)^2} \)

Wolfram me dice que el del resultado de \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{} \) es \( \displaystyle\frac{1}{9} \)

Perplexity.ai me respondió:

Tiene su truco, nota que:
\( (x+2)(x+5)=x^2+7x+10=x^2+7x+11-1 \)
\( (x+3)(x+4)=x^2+7x+12=x^2+7x+11+1 \)
\( \;\;\longrightarrow\;\;(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)= (x^2+7x+11-1)(x^2+7x+11+1)=(x^2+7x+11)^2-1 \)

y lo mismo con el denominador:
\( (x+2)(x+7)=x^2+9x+14=x^2+7x+17-3 \)
\( (x+4)(x+5)=x^2+9x+20=x^2+7x+17+3 \)
\( \;\;\longrightarrow\;\;(x+2)(x+7)(x+4)(x+5)= (x^2+9x+17-3)(x^2+9x+17+3)=(x^2+9x+17)^2-9 \)


\( \therefore\quad \dfrac{(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-(x^2+7x+11)^2}{(x+2)(x+7)(x+4)(x+5)-(x^2+9x+17)^2}=\dfrac{-1}{-9}=\dfrac{1}{9} \)

! ¿Que tipo de magia negra es esa?
Muchas gracias a ambos por su ayuda.