[carlosgv]

¿Alguien podría explicarme cómo estudiar la convergencia de la integral \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^p dx \) en función de p?

No sé si debo separar la integral en los intervalos \( [0,1)\cup{[1,\infty)} \) o es correcto estudiarlo directamente resolviendo la integral y tomando el límite tendiendo a infinito.

Si alguien puede ayudarme, se lo agradezco.

[Fernando Revilla]

¿Alguien podría explicarme cómo estudiar la convergencia de la integral \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^p dx \) en función de p?
No sé si debo separar la integral en los intervalos \( [0,1)\cup{[1,\infty)} \) o es correcto estudiarlo directamente resolviendo la integral y tomando el límite tendiendo a infinito.
Si alguien puede ayudarme, se lo agradezco.

Por mi parte, no voy a responderte. Aquí lo hice

        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126713.msg519270#msg519270

y tuve la impresión de estar comunicándome con el conjunto vacío.

[carlosgv]

Disculpa, aún no lo había mirado con detenimiento

[Masacroso]

¿Alguien podría explicarme cómo estudiar la convergencia de la integral \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^p dx \) en función de p?

No sé si debo separar la integral en los intervalos \( [0,1)\cup{[1,\infty)} \) o es correcto estudiarlo directamente resolviendo la integral y tomando el límite tendiendo a infinito.

Si alguien puede ayudarme, se lo agradezco.

Puedes hacerlo como quieras, pero en este caso veo más sencillo simplemente tomar una primitiva del integrando y tomar límites en cero por la derecha y en infinito para saber si la integral converge o no. Es decir, si \( p\neq -1 \) entonces tienes que

\( \displaystyle{
\int_{0}^{\infty }x^p \,d x=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Bigg|_{x\to 0^+}^{x\to \infty }
} \)

Si la expresión resultante fuese una indeterminación entonces la integral también diverge en ese caso.

[carlosgv]

Gracias por la aclaración,

Un saludo