Hilo separado de aquí por la administración.
Hola!
Muy interesante.
Este hilo lo tengo de consulta, gracias!
No se cuál de todas las cosas que observe. Si encontré y leí esa info, pero por lo visto no termino de comprender algunas cuestiones.
Quizás es que me confundo y confundo con algunas definiciones, como Luis Fuentes me observó. Y siempre son bienvenidas las críticas.
En mi experiencia, siempre he aprendido mas de los errores que de los aciertos. Por lo que no temo cometer errores ni cuestionar cosas.
Ahora, lo que a mi me cuesta entender sobre el 1 como número perfecto es lo siguiente:
1- Vos tenés una caracterización de números perfectos pares, y quieres aplicarla a números perfectos impares.
2- La base sobre la que se establece que la suma de los divisores propios es el mismo número, y que por lo tanto la de todos sus divisores es el doble aplican para los números pares. Para los impares no lo sabemos, y para los menores a 2 tampoco.
3- La potencia de base 2, establece algo, quizás para el 1 no sea igual, como mencioné arriba. De la misma forma que para el 1 la función sigma de Euler no es igual.
Hay muchos interrogantes, por eso es que me da tanta curiosidad.
Si tomas un cuadrado graficas la sucesion de números naturales, y empezas a marcar los cuadrados en las potencias de 2, queda algo como esto:
De allí, el acumulado hasta \( n=3 \) es \( 6 \). La potencia era \( 2^1 \), sumado el 6 como divisor tenes 12, que si le agregas dos veces la potencia, completa el cuadrado de \( 2^2 \).
Ahora, vos decis que no es un número perfecto, porque la función sigma no suma dos...
Probablemente no sea un número perfecto, es lo más lógico. Yo busco la explicación por ser curioso.
Pero si te pido que me definas un número perfecto, me vas a decir solo lo de los divisores.
Y yo te diría además, que permite integrar el cuadrado de de la sumatoria de los naturales para (n+1). Que es un número oblongo, esto si es tomando en cuenta los divisores.
Las potencias de dos sumas 1 unidad mas en la suma de sus divisores. En los números perfectos es primo.
Y el factor primo de la formula de euclides, curiosamente cuando es primo, la suma de sus divisores es una potencia de dos.
A pesar de ver esto, insisto con el 1. \( 1=2^0 \). Y veo si eso puede ser que haga el cambio.
El número primo debe surgir de la misma potencia de base 2. De todas maneras, aunque busques factorizar para conseguir un primo, esos factores pasan a convertirse en divisores, y el número final no será primo.
Cuando factorizas el 6 en números primos, no consigues un número primo. Seguirás teniendo una potencia de base 2 con exponente compuesto (por definición de número compuesto).
Lo que yo pude concluir de los números perfectos, es que a partir de ellos podés completar el cuadrado de la potencia de 2 al exponente que resulta de la suma de los divisores del factor primo (ejemplo, tomas \( 2^2 p=7 N=28 \) y sumando la sumatoria de naturales hasta (p+1) obtuviste el cuadrado...
No se como explicarlo sin marearme... Pero se van manteniendo la suma de los divisores, y cuando formas el cuadrado de la potencia de 2 mas grande, la suma de los divisores de todos los números que ocupaste.
Y con todo esto que escribí al último, te doy la razón en que el 1 no es perfecto. =)
Abrazo!
Agrego: Y es que no tengo la unidad que me falta para integrar el cuadrado de 2Agregado 2: Entonces formás el cuadrado de una potencia \( 2^n \). Partiendo de una potencia \( 2^n-1 \), la multiplicas por la suma de sus divisores \( p \), obtenes el número perfecto, que dobla ese la suma de los divisores, y le sumas \( (p+1) \) (suma de divisores no compartidos de la nueva potencia)
Y eso es un número perfecto.
\( 2\cdot{3}=6 \)
\( 6+6+4=16=2^4 \)
