Hola
Tengo una duda acerca la demostración de este teorema, "Sea \( A \) compacto sii todo \( B\subset A \) infinito tiene al menos un punto de acumulación en \( A \)" quiero probar el reciproco de este teorema, he intentado por reducción a lo absurdo, donde niego la tesis, lo cual por el teorema de Heinel borel, A no es cerrado o no es acotado. pero me he quedado este parte.
Agradecería alguna ayuda, cabe recalcar que no puedo usar sucesiones ya que he visto que la mayoría de demostraciones usan sucesiones pero al momento que voy del curso no hemos visto sucesiones
Hablas del Teorema de Henie-Borel así que entiendo que trabajas en \( \Bbb R^n \) ó \( \Bbb C^n \). En ese caso y entendiendo que puedes usar ese teorema basta que pruebes que es cerrado y acotado.
- Si no fuese acotado, para cada \( n\in \Bbb N \) existe \( x_n\in A \) tal que \( x_n\not\in B(0,n) \), es decir, \( d(x_n,0)\geq n \). Ahora \( \{x_n\}\subset A \) por hipótesis tiene un punto de acumulación \( x\in A \); supongamos que \( d(x,0)<n_0 \). Para todo \( n\geq n_0+1 \):
\( d(x_{n},0)\leq d(x_n,x)+d(x,0)\quad \Rightarrow{}\quad d(x,x_n)\geq d(x_n,0)-d(x,0)>n-n_0\geq 1 \)
Por tanto \( B(x,1)\cap \{x_n\}\subset \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_0}\} \) finito y así \( x \) NO es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \): contradicción.
- Si no es cerrado, existe \( x\in clausura(A) \) tal que \( x\not\in A \). Pero entonces para todo \( n\in \Bbb N \) existe \( B(x,1/n)\cap A\neq\emptyset \) y así existe \( x_n\in A\cap B(x,1/n) \). Entonces por hipótesis el conjunto \( \{x_n\} \) tiene un punto de acumulación \( y\in A \).
Como \( y\in A \), pero \( x\not\in A \), \( y\neq x \). Para todo \( n>2/d(x,y) \) (y por tanto \( \color{red}1/n<d(x,y)/2\color{black} \)), se tiene que:
\( d(x,y)\leq d(x,x_n)+d(x_n,y)\quad \Rightarrow{}\quad d(y,x_n)\geq d(x,y)-d(x,x_n)>d(x,y)-\dfrac{1}{n}>d(x,y)/2 \)
Por tanto \( B(\color{blue}y,d(x,y)/2)\color{black}\cap \{x_n\}\subset \{x_1,x_2,\ldots,x_{[2/d(x,y)]}\} \) finito y así
\( y \) NO es un punto de acumulación de \( \{x_n\} \): contradicción.
Observaciones: 1) Sinceramente me parece bastante raro estudiar el concepto de cerrado, puntos de acumulación, compacto en espacios métricos sin haber hablado de sucesiones. En la demostración que te he puesto he evitado explícitamente sucesiones; si pudiese usarla facilitaría un poco la escritura de las misma ideas.
2) Si quieres una prueba del resultado en cualquier espacio métrico, mira por aquí:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=126748.0;attach=31234Saludos.
CORREGIDO (gracias ani_pascual)CORREGIDO 2 (gracias ani_pascual)
