[Richard R Richard]

Buscando una solución a los números perfectos impares , he leído que deben en primera medida ser de la forma

$$N=P^{impar}M^{par}$$

es decir como sigma de un número a la potencia par resulta impar , la productoria de números a la potencia par debería tener un sigma impar  y no puede ser perfecto porque no puede ser igual a 2N

pero me pregunto ¿Por qué estos números que defino a continuación no tienen chances de ser perfectos?.


$$N=P_1^{2k_1-1}P_2^{2k_2-1}P_{2k_3-1}^1...P_x^{2k_x-1}M^{par}$$


ejemplo $$N=735=3\cdot5\cdot 7^2$$  no lo he calculado pero supongo que $$\sigma(735)$$ es par

excluyendo al 2 de los números primos

se ve que los $$P_i$$ son todos primos impares a la potencia $$2K_i-1$$ impar y  como es de suponer $$M$$ no tiene factores comunes con ellos  , cada uno de sus sigmas de esos primos son pares y el de M impar, lo que puede garantizar que sigma de N sea par, es decir la existencia de una potencia impar es una condición suficiente, pero no es necesario que se la única potencia de un primo a potencia impar. 

Resumiendo ¿por qué se pone que es un único primo P a potencia impar y no una productoria de primos a potencias impares multiplicado por otra productoria de primos a potencia par. ?

[Luis Fuentes]

Hola

Resumiendo ¿por qué se pone que es un único primo P a potencia impar y no una productoria de primos a potencias impares multiplicado por otra productoria de primos a potencia par. ?

 1) La función \( \sigma(n) \)=suma de los divisores de \( n \), es multiplicativa para producto de coprimos, es decir,

 - si \( mcd(a,b)=1 \) entonces \( \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b) \).

 2) Si \( p \) es un primo impar, entonces \( \sigma(p^n)=1+p+\ldots+p^n \) (\( n+1 \) sumandos de impares) y así:

 - Si \( n \) es par entonces \( \sigma(p^n) \) es impar.
 - Si \( n \) es impar entonces \( \sigma(p^n) \) es par.

 3) Un número perfecto es aquel que cumple \( \sigma(N)=2N \)

4) Si \( N \) es un número perfecto impar entonces \( \sigma(N)=2N \) debe de ser par, pero no múltiplo de \( 4 \).

 5) Si \( N \) tuviese dos factores primos distintos impares elevados a exponente impar, es decir:

 \( N=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdot K \) (donde \( K \) incluye los demás factores primos).

 Entonces:

\(  \sigma(N)=\sigma(p_1^{n_1})\sigma(p_2^{n_2})\sigma(K) \)

 Pero si \( p_1,p_2 \) son primos impares y \( n_1,n_2 \) son exponentes impares, \( \sigma(p_1^{n_1})\sigma(p_2^{n_2}) \) son ambos pares y por tanto su producto múltiplo de \( 4 \) y eso contradice (4).

Saludos.

P.D. Adicionalemente por (1),(2),(4) y para que \( \sigma(N) \) sea par, si es necesario que aparezca un primo impar elevado a exponente impar.

[Richard R Richard]

Entendido muchísimas  gracias!!!!

$$N=P^{impar}M^{par}$$

Entonces

$$\sigma(P^{impar})=impar+1$$ pero no divisible por 4

$$N=P^{4k+1}M^{par}$$ con $$k\geq 0\in\mathbb N$$ que también lo vi en algún lado escrito.

Estoy pensando medio rápido y recién madrugado, pero ...¿no es factorizable la productoria? Ya me lo pienso en el día con calma.

[Richard R Richard]

Es claro que algo me olvide con el tiempo, ya había llegado a la misma conclusión hace un tiempo.

-Un número perfecto impar tiene que tener al menos uno de los factores primos que lo componen elevado a una potencia impar...

Entonces no es al menos 1, sino solo 1.

Lo primero que se me ocurrió hoy temprano era hacer un análisis como el que hice en ese hilo. Voy a seguir releyendome , para ver si se me ocurre algún algoritmo milagroso