[angelabayona]

Dado el sistema lineal:
\( x_1-x_2+ax_3= -1 \)
\( -x_1-2x_2-ax_3=3 \)
\( ax_1+x_2+x_3=8 \)

a)Obtenga en caso de ser posible el valor o los valores de \( \alpha \)para los cuales el sistema no tiene solución

 (b) Obtenga en caso de ser posible el valor o los valores de \( \alpha \) para los cuales el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

(c) Suponiendo que hay una solución única solución para un \( \alpha \) determinado, obtenga en caso de ser posible dicha solución.

¿Me podés dar una mano con este ejercicio?

[Masacroso]

Una forma es aplicando el teorema de Rouché-Frobenius para ver en qué condiciones el sistema tiene solución. Luego, en el caso de que tenga solución, la solución será única si la matriz asociada al sistema es invertible, e infinitas si no lo es.

Yo te recomendaría lo siguiente: primero hallar los valores de \( \alpha  \) para los cuales la matriz asociada al sistema es invertible, eso responde al apartado (c). Luego ver para qué valores de \( \alpha \) la matriz asociada tiene rango dos, y de esos valores aplicar el teorema de Frobenius. Luego proceder para rango uno, si es posible.

Ésa es una vía directa. Otra vía es hacer lo mismo pero antes intentar transformar el sistema a uno equivalente en el que los elementos de la derecha en vez de \( -1,3,8 \) sean otros con el máximo número de ceros posibles, eso hace el análisis anterior más sencillo.

Añadido: también se puede simplificar el análisis simplificando el sistema eliminando todos los \( \alpha  \) posibles en el sistema de ecuaciones.

[ani_pascual]

Hola:

Dado el sistema lineal:
\( x_1-x_2+ax_3= -1 \)
\( -x_1-2x_2-ax_3=3 \)
\( ax_1+x_2+x_3=8 \)
...

Por añadir algo a lo expuesto por Masacroso...
Puedes empezar calculando el determinante de la matriz de coeficientes del sistema:
\( \left|\begin{array}{rrr}1&-1&\alpha\\-1&-2&-\alpha\\\alpha&1&1\end{array}\right|=\cdots =3\alpha^2-3 \), que se anula si y solo si \( \alpha=\pm 1 \). Así pues, si \( \alpha\neq \pm 1 \) el sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única, que depende de \( \alpha \). Los casos \( \alpha=1 \) y \( \alpha=-1 \), los puedes estudiar aparte, por ejemplo, con el métodos de Gauss.
Caso \( \alpha=1 \)
\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&1&-1\\-1&-2&-1&3\\1&1&1&8\end{array}\right)\stackrel{f_2+f_1,f_3-f_1}{\sim }\left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&1&-1\\0&-3&0&2\\0&2&0&9\end{array}\right)\stackrel{3f_3+2f_2}{\sim } \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&1&-1\\0&-3&0&2\\0&0&0&31\end{array}\right) \) luego el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.
Dejo para ti el caso \( \alpha=-1 \) 
Saludos

[angelabayona]

Hola, ¿podría usar el método de Gauss  para resolver los demás literales? ¿De qué forma lo hago?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ¿podría usar el método de Gauss  para resolver los demás literales? ¿De qué forma lo hago?

Desde el principio podrías usar Gauss en función del parámetro:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\-1&-2&-a&3\\a&1&1&8\end{array}\right)\stackrel{f_2+f_1,f_3-a\cdot f_1}{\sim }\left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&1+a&1-a^2&8+a\end{array}\right)\stackrel{f_3+(1+a)f_2/3}{\sim } \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&1-a^2&(26+5a)/3\end{array}\right) \)

Ahí ya ves que el rango de la matriz del sistema es tres excepto si \( 1-a^2=0 \), es decir, si \( a=1 \) ó \( a=-1 \). Y tomando esos dos valores puedes ver directamente el rango de la matriz y la matriz ampliada y concluir.

Si sigues teniendo dudas indicas que has intentado y las dificultades concretas que encuentres.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Hola, ¿podría usar el método de Gauss  para resolver los demás literales? ¿De qué forma lo hago?

Para resolver los casos \( \alpha\neq \pm 1 \) quizás es más recomendable el método de Cramer pero también se puede usar el método de Gauss, aunque no lo recomiendo a los estudiantes de secundaria porque se suelen liar con el parámetro a la hora de hacer las combinaciones lineales de las filas para hacer ceros.
Casos \( \alpha\neq\pm 1 \)
\( \left(\begin{array}{rcr|r}1&-1&\alpha&-1\\-1&-2&-\alpha&3\\\alpha&1&1&8\end{array}\right)\stackrel{f_2+f_1,f_3-\alpha f_1}{\sim }\left(\begin{array}{rcc|c}1&-1&\alpha&-1\\0&-3&0&2\\0&1+\alpha&1-\alpha^2&8+\alpha\end{array}\right)\stackrel{3f_3+(1+\alpha)f_2}{\sim } \left(\begin{array}{rrc|c}1&-1&\alpha&-1\\0&-3&0&2\\0&0&3(1-\alpha^2)&26+5\alpha\end{array}\right) \) de donde \( \left\{\begin{array}{l}x_1=\dfrac{26\alpha+5}{3(\alpha^2-1)}\\x_2=\dfrac{-2}{3}\\x_3=\dfrac{-5\alpha-26}{3(\alpha^2-1)}\end{array}\right. \)


Se adelantó a contestar Luis Fuentes 
Saludos

[angelabayona]

Creo que ahora sí entiendo, de acuerdo a lo antes expuesto el sistema no tendrá solución si la matriz aumentada tiene la siguiente forma:
\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&0&\neq 0\end{array}\right) \)

Por lo tanto los valores que cumplen esta condición son: \( \alpha =1 \\ \alpha= -1 \)

El sistema tendrá infinitas soluciones si la matriz aumentada tiene esta forma:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&0&0\end{array}\right) \)

Está condición no se cumple para ningún valor de \( \alpha \)

El sistema tendrá solución Única si la matriz aumentada tiene la siguiente forma:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&\neq0&(26+5a)/3\end{array}\right) \)

Por lo tanto ninguno de los dos valores de \( \alpha \) satisface esta condición. Que me pueden decir compañeros? Son correctas estás conclusiones? Gracias Luis, gracias Ani_pascual, gracias masacroso, por la ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que ahora sí entiendo, de acuerdo a lo antes expuesto el sistema no tendrá solución si la matriz aumentada tiene la siguiente forma:
\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&0&\neq 0\end{array}\right) \)

Por lo tanto los valores que cumplen esta condición son: \( \alpha =1 \\ \alpha= -1 \)

Bien.

El sistema tendrá infinitas soluciones si la matriz aumentada tiene esta forma:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&0&0\end{array}\right) \)

Está condición no se cumple para ningún valor de \( \alpha \)

Bien.

El sistema tendrá solución Única si la matriz aumentada tiene la siguiente forma:

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&\neq0&(26+5a)/3\end{array}\right) \)

Por lo tanto ninguno de los dos valores de \( \alpha \) satisface esta condición.

Ojo, esta condición se cumple para todos los valores de \( \alpha \) distintos de \( -1 \) y \( 1 \).

Saludos.

[angelabayona]

El sistema tendrá solución Única si la matriz aumentada tiene la siguiente forma:

Entonces está parte queda Así?

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&\neq0&(26+5a)/3\end{array}\right) \)

Está condición se cumple para todos los valores de \( \alpha \neq-1 \) y \( 1 \) ??
 

[Luis Fuentes]

Hola

El sistema tendrá solución Única si la matriz aumentada tiene la siguiente forma:

Entonces está parte queda Así?

\( \left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&a&-1\\0&-3&0&2\\0&0&\neq0&(26+5a)/3\end{array}\right) \)

Está condición se cumple para todos los valores de \( \alpha \neq-1 \) y \( 1 \) ??

Bien.

Saludos.