[Chorite]

Hola, me dieron esta demostración: El segmento que une dos puntos A y B respectivamente situados en lados distintos de un ángulo convexo; corta a todo rayo r interior.

Dejo una imagen de la resolución:



Explicación: En efecto, tomando B' en la semirrecta opuesta a OB, el segmento \( \overline{AB'} \) no corta a r por estar en semiplano distinto respecto de OA (definición del ángulo); tampoco corta a la semirrecta opuesta a r por estar \( \overline{AB'} \) en el mismo semiplano que r respecto a BB'; A y B' están, pues, en un mismo semiplano respecto de la recta de r; y como B y B' están separados por dicha recta, también lo estarán A y B, es decir: el segmento \( \overline{AB'} \)(todo él contenido en el ángulo) corta a la recta de r en los puntos de ella interiores al mismo, luego corta a la semirrecta r, como se quería demostrar.

Lo que no entiendo es esto: "\( \overline{AB'} \) no corta a r por estar en semiplano distinto respecto de OA". Yo en realidad lo que veo es que el punto A pertenece a la recta borde OA, y como pertenece a la recta borde no puede estar un semiplano. ¿En qué me estoy equivocando?

Aclaración importante: Estoy en un nivel muy básico de geometría, sé que a veces hay explicaciones de estos teoremas que se derivan de matemática mucho más avanzada pero realmente se me va a hacer muy difícil comprenderla.

Mensaje de la moderación: se ha insertado la imagen en el mensaje en vez de como enlace.

[delmar]

Hola

Para evaluar una demostración se ha de considerar que se puede usar, es decir las definiciones, axiomas, teoremas, etc que se consideran ya demostrados y eso no lo sabemos acá; pero Ud. si lo sabe y mostrando el intento da luces respecto a lo que se puede usar y mejor aún si se menciona. Otra cosa es que muchas veces hay varias formas de demostrar un teorema, hecha esta aclaración; respecto a la expresión que no se entiende :

Los puntos O y A determinan una recta en el plano del ángulo, el punto B junto con la recta determinan un semiplano , el punto B' junto con la recta determinan también un semiplano y es distinto al anterior  por que el segmento BB' corta a la recta en O, si determinasen el mismo semiplano, el segmento BB' no cortaría a la recta. Entonces hay :

Semiplano \( \alpha \) determinado por recta OA y punto B

Semiplano \( \beta \) determinado por recta OA y punto B'

El segmento AB' esta en el semiplano \( \beta \), la semirrecta r es interior al \( \angle AOB \) y todo este ángulo esta incluido por el semiplano \( \alpha \)

Al estar estosAB' y semirrecta r en semiplanos diferentes y tocar a la recta OA en puntos distintos A y O respectivamente, entonces no se cortan.

Hay un error tipográfico en la última límea de la demostración es " el segmento \( \bar{AB} \) (todo él contenido en el ángulo)"

Saludos

[Chorite]

Hola

Para evaluar una demostración se ha de considerar que se puede usar, es decir las definiciones, axiomas, teoremas, etc que se consideran ya demostrados y eso no lo sabemos acá; pero Ud. si lo sabe y mostrando el intento da luces respecto a lo que se puede usar y mejor aún si se menciona. Otra cosa es que muchas veces hay varias formas de demostrar un teorema, hecha esta aclaración; respecto a la expresión que no se entiende :

Los puntos O y A determinan una recta en el plano del ángulo, el punto B junto con la recta determinan un semiplano , el punto B' junto con la recta determinan también un semiplano y es distinto al anterior  por que el segmento BB' corta a la recta en O, si determinasen el mismo semiplano, el segmento BB' no cortaría a la recta. Entonces hay :

Semiplano \( \alpha \) determinado por recta OA y punto B

Semiplano \( \beta \) determinado por recta OA y punto B'

El segmento AB' esta en el semiplano \( \beta \), la semirrecta r es interior al \( \angle AOB \) y todo este ángulo esta incluido por el semiplano \( \alpha \)

Al estar estosAB' y semirrecta r en semiplanos diferentes y tocar a la recta OA en puntos distintos A y O respectivamente, entonces no se cortan.

Hay un error tipográfico en la última límea de la demostración es " el segmento \( \bar{AB} \) (todo él contenido en el ángulo)"

Saludos

Muchas gracias delmar. Quisiera agregar una consulta: Entonces, ¿Es posible que un segmento que tiene a uno de los extremos pertenece a la recta borde pueda estar dentro de un semiplano sin violar ninguna propiedad? Porque lo yo habia entendido es que para que un punto o un segmento esté dentro de un semiplano, no puede "tocar" la recta borde. De ahi mi duda, pero quizás estoy equivocado.

[delmar]

Se entiende que sí, cuando el semiplano es cerrrado en este caso incluye a la recta borde. Por eso es importante están considerando como  semiplano, al cerrado o al abierto o a ambos. Ojo puntos en distintos semiplanos, diferentes al borde cortan a la recta borde.

Saludos