[Nub]

Hola, otro ejercicio echo aqui en el foro:

Una canica rueda sobre una mesa horizontal con un rapidez vo. La bola rebota elásticamente en una pared vertical a la distancia horizontal D del borde de la mesa. ("Elásticamente significa que Vy no cambia y Vx se invierte). Después la canica llega al piso a una distancia Xo del borde de la mesa, como se ve en la figura.
A) Halle las ecuaciones para las ordenadas y las abscisas de la canica en función del tiempo, válidas para antes de chocar con la pared
B) Determine s y el valor de Vy cuando la canica llega al muro.
C) Halle una expresión para Xo en función de Vo y determine Vo tal que Xo=0

Hice todo menos la C)

La pregunta aqui es la siguiente, tengo que hacer las ecuaciones de movimiiento para la bolita despues del choque y calcular el tiempo cuando cae al suelo y luego con ese tiempo hacer x(ese tiempo) y me dara \( x_o \)?

Colocando el origen en la punta de la mesa

A) \( r_x(t)=t_0 y r_y(t)=-(1/2)t^2 \)
B) Tiempo cuando llega al muro \( = d/v_o \) , \( s=\displaystyle\frac{-gD^2}{2v_o^2} \) y \( V_y \) cuando llega al muro \( =\displaystyle\frac{-gd}{v_0} \)

C) Lo que decia basicamente es que Bolita despues de chocar: \( t_i=\displaystyle\frac{d}{v_0} \)

X)

\( r_x(t_i)=D \)
\( v(t_i)=-v_0 \) (la letra decia ahi que al chocar cambiaba de sentido
\( r(t)=-v_o(t-t_i)+d \)

Y)

\( r_y(t_i)=s \)
\( v_y(t_i)=\displaystyle\frac{-gd}{v_0} \)
\( r_y(t)=(-1/2)g(t-t_i)^2+(\displaystyle\frac{-gd}{v_0})(t-t_i)+s \)

Otra cosa... pensando en no usar estas ecuaciones para el momento después del choque no se podria pensar como que la pelota traspasa el muro y cae a una cierta distancia y con esa cierta distancia hallar lo que pide en C)?

[delmar]

Hola

Esta bien lo que has hecho salvo errores tipográficos en el apartado A) es \( r_x(t)=v_0t\wedge r_y(t)=\displaystyle\frac{-gt^2}{2} \) obviamente para  \( 0\leq{t}\leq{\displaystyle\frac{D}{v_0}} \). Para el apartado C) en efecto has de hallar el t para el cual toca el suelo es decir \( r_y(t)=h \)  Ec 1, ojo \( h<0 \) y luego sustituir en la ecuación \( r_x(t)=-v_0(t-t_i)+D=x_0 \) Ec 2, ahí se tiene la relación buscada. Para sencillez es conveniente hacer el cambio de variable \( u=(t-t_i) \) en la Ec 1 y luego en la Ec 2. Respecto a tu pregunta final, si se puede hacer, tendrás en cuenta que si cae con una abscisa k se ha de dar : \( k-D=D-x_0 \); pero con el cambio de variable, las cosas son sencillas.


Saludos

[Richard R Richard]

Hola te doy un punto de vista alternativo,

En un rebote elástico de una partícula con la pared  vertical, el módulo de la velocidad en direccion vertical y en horizontal se conserva.

El ángulo de incidencia de salida es igual a la de entrada.

Observa que si no existiese la pared , la gráfica sería una parábola, la pared hace de espejo para mostrarte una trayectoria simétrica especular.

Primero, dados $$D$$ y $$h$$ , la velocidad debe superar un mínimo para que no caiga la canica al piso antes de rebotar en la pared , como el lanzamiento es horizontal el tiempo de caída no depende de \( v_0 \) y resulta \( t_c=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)  entonces $$v_0$$ debe ser mayor a $$v_0>\dfrac{D}{t_c}$$ 

Luego de manera similar  en la situación planteada se ve que $$v_0 t_c> D$$ por lo que si la distancia a recorrer máxima de ida y vuelta es 2D  la distancia de caída $$x_0$$ sale de $$x_0=2D-v_0t_c$$

Para calcular la altura $$s$$ que cae hasta el impacto sabes que la velocidad horizontal se conserva, entonces el tiempo hasta impactar es la distancia recorrida dividido la velocidad horizontal $$t_i=\dfrac{D}{v_0}$$  en ese tiempo la caída es $$s=|\Delta h|=|H_i-h|=|-\dfrac{1}{2}gt_i^2|= \dfrac{g D^2}{2v_0^2}$$

las ecuaciones de la canica antes de chocar son

$$h(t)=h-\dfrac12gt^2$$
$$x(t)=v_0t$$

La distancia $$s$$ ya la calcule previamente , y para calcular la velocidad vertical $$V_y$$  sabes que la aceleración es constante  entonces la velocidad aumentará en módulo linealmente con el incremento tiempo $$V_y=-gt_i$$

La ecuación de $$x_0$$ en función de $$v_0$$ dije que era $$x_0=2D-v_0t_c$$ y que \( t_c=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \) reemplazando

\( x_0=2D-v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)

cuando $$x_0=0=2D-v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\quad \to \quad v_0=\dfrac{2D}{\sqrt{\dfrac{2h}{g}}}=\sqrt{\dfrac{2D^2g}{h}}$$

Saludos

[Nub]

Para el apartado C) en efecto has de hallar el t para el cual toca el suelo es decir \( r_y(t)=h \)  Ec 1, ojo \( h<0 \) y

No queda extremadamente feas las cuentas para hacer eso? ni pude Aun asi pude resolver el ejercicio simplemente calculando el tiempo cuando llega al suelo considerando que la bolita no choca, luego halle \( x_o \) con ese tiempo usando las ecuaciones de posición de x luego de chocar, osea calcule el tiempo como si no chocara y luego use ese tiempo en la e.c de posición como si chocara

[delmar]

No lo creo lo muestro, las ecuaciones de movimiento (coordenadas de la canica a partir de \( t_i \)) son :

\( x(t)=-v_0(t-t_i)+D \)

\( y(t)=(-1/2)g(t-t_i)^2+(\displaystyle\frac{-gD}{v_0})(t-t_i)+s \) con \( s=\displaystyle\frac{-gD^2}{2v_0^2} \)

Denominando \( u=(t'-t_i) \) donde \( t' \) es el tiempo en el cual la canica toca el suelo esto significa que su ordenada es h con valor negativo, obviamente.; se tiene :

\( h=(-1/2)gu^2+(\displaystyle\frac{-gD}{v_0})u+s\Rightarrow{u^2+(\displaystyle\frac{2D}{v_0})u+\displaystyle\frac{2(h-s)}{g}=0} \)

Ecuación de segundo grado, considerando que u>0 se tiene :

\( u=\displaystyle\frac{(\displaystyle\frac{-2D}{v_0})+\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{2D}{v_0})^2-\displaystyle\frac{8(h-s)}{g}}}{2}=\displaystyle\frac{-D}{v_0}+\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{D^2}{v_0^2}-\displaystyle\frac{2(h-s)}{g}}=\displaystyle\frac{-D}{v_0}+(\displaystyle\frac{1}{v_0})\sqrt[ ]{D^2-\displaystyle\frac{2hv_0^2}{g}+\displaystyle\frac{2sv_0^2}{g}}=\displaystyle\frac{-D+\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-2hv_0^2}{g}}}{v_0} \) se ha sustituido s por su valor.

Luego :


\( x(t')=-v_0u+D=2D-\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-2hv_0^2}{g}} \)

Que coincide con la respuesta de Richard R Richard ojo que h<0

Saludos

[Nub]

Muchas gracias a los dos