[RDC]

Siendo $$x,y$$ dos naturales coprimos existe algún natural $$n$$ que cumpla lo siguiente?:

$$x^2+y^2-xy=n^2$$


Saludos

[Pie]

\( 3 \) y \( 8 \) por ejemplo.

\[ 3^2 + 8^2 - 3\cdot{8} = 7^2 \]

Saludos.

[Fernando Revilla]

\( 3 \) y \( 8 \) por ejemplo. \[ 3^2 + 8^2 - 3\cdot{8} = 7^2 \]

Me recuerda al trabajo matemático mas corto publicado :

        COUNTEREXAMPLE TO EULER'S CONJECTURE ON SUMS OF LIKE POWERS

[Pie]

\( 3 \) y \( 8 \) por ejemplo. \[ 3^2 + 8^2 - 3\cdot{8} = 7^2 \]

Me recuerda al trabajo matemático mas corto publicado :

        COUNTEREXAMPLE TO EULER'S CONJECTURE ON SUMS OF LIKE POWERS

El mio es más corto aún.

Saludos.

[RDC]

\( 3 \) y \( 8 \) por ejemplo.

\[ 3^2 + 8^2 - 3\cdot{8} = 7^2 \]

Saludos.

Bien Pie!! Ahora introducimos una nueva restricción:

además $$x+y=m^2$$, $$m$$ es un natural.

Saludos

[feriva]

\( 3 \) y \( 8 \) por ejemplo.

\[ 3^2 + 8^2 - 3\cdot{8} = 7^2 \]

Saludos.

Bien Pie!! Ahora introducimos una nueva restricción:

además $$x+y=m^2$$, $$m$$ es un natural.

Saludos

Puedes tomar que las sumas de series de impares consecutivos, dan cuadrados

1+3; 1+3+5; etc.

Por ejemplo, con esa última, podemos hacer x=1, y=3+5=8; el 1 siempre es coprimo con todos. Y tienes 9 que es un cuadrado.

Entonces sustituyes

\( x^{2}+y^{2}-xy=n\Rightarrow \)

\( 1+64-(1*8)=n=57 \)

A perdón, que es "n" cuadrado

Saludos.

[Abdulai]

Como las soluciones son números pequeños basta una comprobación ineficiente por fuerza bruta

\( [m,x,y,n] = [11,56 ,65  ,61  ;  13,57 ,112 ,97  ;   23,217,312 ,277 ;   37,305,1064,949 ; ...] \)

[Richard R Richard]

Estos temas me atraen como la luz a los insectos.

$$x^2+y^2-xy=n^2$$
además

$$x+y=m^2$$
entonces
$$y=m^2-x$$

reemplazo
$$x^2+(m^2-x)^2-x(m^2-x)=n^2$$

$$x^2+m^4-2m^2x+x^2-xm^2+x^2=n^2$$

obtengo
$$3x^2+m^4-3m^2x=n^2$$
y con esto ejecuto un algoritmo y obtengo


$$x= 2$$, $$y= 2$$, $$m= 2$$, $$ n= 2$$


$$2^2+2^2-2\cdot2=2^2$$

$$2+2=2^2$$


esos son los mas pequeños


Hay 699  casos mientras $$x \in(1,9999)$$ y $$m \in(1,9999)$$, con valores de $$y$$ positivos y negativos.
Edito como encontre un error  debo verificar si todos son ciertos


no era un error


$$x= 1$$ $$y= 0$$ $$m= 1$$ $$n= 1$$

también verifica y es menor , si no tomas al cero como natural , entonces no es solución.

Solo son 412 con naturales empezando en 1.

[sugata]

Richard, pide x e y coprimos, así que todo doses no vale.

[RDC]

Como las soluciones son números pequeños basta una comprobación ineficiente por fuerza bruta

\( [m,x,y,n] = [11,56 ,65  ,61  ;  13,57 ,112 ,97  ;   23,217,312 ,277 ;   37,305,1064,949 ; ...] \)

Vale, gracias