Hola a todos.
Hace ya unos años como parte de mi TFG desarrollé con detalle la demostración original de Apéry sobre la irracionalidad de \( \zeta(3) \) y, de hecho, hice un
tema en el foro preguntando varias de las muchas dudas que tenía. Finalmente conseguí resolver todas las dudas que ahí aparecen, pero me quedó sin resolver una duda que es crucial en la demostración, pero que no conseguí ver.
La duda es la siguiente:
Si es
\( \displaystyle a_n = \sum_{0\leq k\leq n}\binom{n}{k}^2\binom{n+k}{k}^2 \)
se cumple que
\( a_n \sim A \alpha^n n^{-\frac{3}{2}} \)
para cierta constante \( A>0 \) y siendo \( \alpha=(1+\sqrt{2})^4 \).
Esto aparece enunciado en el THEOREME 1 del artículo de Coheh
Démonstration de l’irrationalité de ζ(3) (d’après R. Apery) como algo sencillo de ver (pero para mi, aun a día de hoy, no lo es).
Un par de años más tarde y por casualidad encontré un teorema de Birkhoff y Adams que da la expansión asintótica completa de las soluciones para una clase muy general de ecuaciones en diferencias finitas de orden 2 y, con ello, pude obtener esta relación asintótica. Sin embargo, no me resultó para nada concluyente porque las demostraciones de dicho teorema me parecen aun más oscuras que la propia relación asintótica a la cual le veo "algo de sentido".
El caso es que de vez en cuando me asalta la cuestión de como podría hallarse dicha relación asintótica, porque me gustaría cerrar completamente la demostración ya que la detallé todo lo posible y esto es una espinita clavada en mi alma. Hace unos días volví a pensar en ello y tras la \( n \)-ésima derrota decidí
preguntar en mathoverflow para ver si algún experto podía resolver mi duda. La cuestión es que alguien ha dado una respuesta que me parece bastante más asequible a lo poco, más bien nulo, que se sobre expansiones asintóticas, pero aún así no consigo entender demasiado sobre la demostración. Además, al preguntar a quien me respondió me da respuestas bastante vagas (algo que me parece muy común por esos lares, por desgracia).
En cuanto pueda escribiré por aquí de nuevo expresando mis dudas concretas (aunque es prácticamente sobre toda la respuesta), pero si alguien pudiera desarrollar la demostración con detalle (y teniendo en cuenta que nunca, salvo en esta ocasión para realizar mi TFG, he trabajado con relaciones asintóticas de este tipo) o dar otra demostración, se lo agradecería enormemente (que son ya cuatro años con la espinita clavada y como las matemáticas que trabajo no se acercan para nada a estas no consigo quitármela).
Un saludo y muchas gracias.
