[carlosgv]

En el espacio vectorial \( Mat_{2\times 2}(\mathbb{R}) \) considera las subvariedades:

\( r=\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{2}&{-1}\end{pmatrix}+\left<{\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{0}&{1}\end{pmatrix}}\right> \)
\( s=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}+\left\{{A\in{Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})|A^t=A}}\right\} \)

Se pide hallar las ecuaciones de la mínima subvariedad que contiene a r y s, pero me encuentro con que los 4 subespacios directores son linealmente independientes entre sí, de modo que al meterlos en la matriz junto con la base del espacio dual para hallar el incidente y después las ecuaciones, resulta una matriz de 5 filas y 4 columnas cuyo determinante no se puede calcular.

Entiendo que la mínima subvariedad es de dimensión 5, pero tampoco sabría cómo ampliar la matriz.

Si alguien me puede ayudar, se lo agradezco

[Luis Fuentes]

Hola

En el espacio vectorial \( Mat_{2\times 2}(\mathbb{R}) \) considera las subvariedades:

\( r=\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{2}&{-1}\end{pmatrix}+\left<{\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{0}&{1}\end{pmatrix}}\right> \)
\( s=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}+\left\{{A\in{Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})|A^t=A}}\right\} \)

Se pide hallar las ecuaciones de la mínima subvariedad que contiene a r y s, pero me encuentro con que los 4 subespacios directores son linealmente independientes entre sí, de modo que al meterlos en la matriz junto con la base del espacio dual para hallar el incidente y después las ecuaciones, resulta una matriz de 5 filas y 4 columnas cuyo determinante no se puede calcular.

Entiendo que la mínima subvariedad es de dimensión 5, pero tampoco sabría cómo ampliar la matriz.

Es imposible que tenga dimensión \( 5 \) porque estás en un espacio afín de dimensión \( 4 \): el espacio de matrices \( 2\times 2 \).

En genera si tienes dos subvariedades afines:

\( r=A+\langle \vec u _1,\vec u_2,\ldots,\vec u_k\rangle \)
\( s=B+\langle \vec v _1,\vec v_2,\ldots,\vec v_d\rangle \)

la dimensión de la menor subvariedad que los contiene es:

\( dim(\langle\overrightarrow{AB},\vec u _1,\vec u_2,\ldots,\vec u_k,\vec v _1,\vec v_2,\ldots,\vec v_d\rangle) \)

¿Sabes concluir con esta idea?.

Saludos.

P.D. No se muy bien a que te refieres con ¿CUATRO? subespacios directores. Sólo tienes dos subvariedades. Una de dimensión dos y otra de dimensión tres.

Tampoco se a que viene el determinante; te interesa más bien el rango.

[Fernando Revilla]

En el espacio vectorial \( Mat_{2\times 2}(\mathbb{R}) \) considera las subvariedades:
\( r=\begin{pmatrix}{1}&{1}\\{2}&{-1}\end{pmatrix}+\left<{\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{0}&{1}\end{pmatrix}}\right> \)
\( s=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{pmatrix}+\left\{{A\in{Mat_{2\times 2}(\mathbb{R})|A^t=A}}\right\} \) Se pide hallar las ecuaciones de la mínima subvariedad que contiene a r y s

Veamos, si \( L_1=P_1+\overrightarrow{L_1}, L_2=P_2+\overrightarrow{L_2} \), entonces la mínima subvariedad afín que contiene a \( L_1 \) y \( L_2 \) es

        \( L_1+L_2=P_1+\overrightarrow{L_1}+\overrightarrow{L_2}+\mathcal L \left\{{\overrightarrow{P_1P_2}}\right\} \)

además \( \dim (\overrightarrow{L_1}+\overrightarrow{L_2})=4 \). ¿Conclusión?

[carlosgv]

El problema viene a la hora de hallar las ecuaciones implícitas. Para calcularlas, creo una matriz colocando la base dual en la primera fila, seguida de los vectores linealmente independientes (cuatro en este caso). A partir de ahí, obtengo la base del incidente. Entiendo que en este caso no es posible hallar las ecuaciones implícitas de esta forma.

[Luis Fuentes]

Hola

El problema viene a la hora de hallar las ecuaciones implícitas. Para calcularlas, creo una matriz colocando la base dual en la primera fila, seguida de los vectores linealmente independientes (cuatro en este caso). A partir de ahí, obtengo la base del incidente. Entiendo que en este caso no es posible hallar las ecuaciones implícitas de esta forma.

La dimensión de la menor subvariedad que contiene a las dadas es \( 4 \), que coincide con la dimensión del espacio ambiente \( M_{2\times 2} \). Por tanto tal subvariedad es todo el espacio afín \( M_{2\times 2} \).

Las ecuaciones implícitas de una subvariedad afín indica que condición tiene que cumplir las coordenadas de un punto para pertenecer a la subvariedad; si ésta es todo el espacio, no tienen que cumplir ninguna condición: todo punto pertenece a la subvariedad. Por tanto NO hay ecuaciones implícitas.

O si quieres el número de ecuaciones implícitas independientes de una subvariedad \( L \) en un espacio afín \( E \) es: \( dim(E)-dim(L) \). Si ambas dimensiones coinciden el número de ecuaciones es CERO.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Las ecuaciones implícitas de una subvariedad afín indica que condición tiene que cumplir las coordenadas de un punto para pertenecer a la subvariedad; si ésta es todo el espacio, no tienen que cumplir ninguna condición: todo punto pertenece a la subvariedad. Por tanto NO hay ecuaciones implícitas.

Bien, pero al no cumplir ninguna condición todo punto \( P=(x_1,x_2,x_3,x_4) \) del espacio total escrito en coordenadas en una referencia \( \mathcal R \) es más razonable decir que \( 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4=0 \) son las ecuaciones implícitas del espacio total y las paramétricas del mismo \( x_i=\lambda_i \) con \( \lambda_i\in \mathbb{R}\;(1\le i\le 4) \).

[carlosgv]

Gracias por la ayuda, ya me ha quedado claro.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Bien, pero al no cumplir ninguna condición todo punto \( P=(x_1,x_2,x_3,x_4) \) del espacio total escrito en coordenadas en una referencia \( \mathcal R \) es más razonable decir que \( 0x_1+0x_2+0x_3+0x_4=0 \) son las ecuaciones implícitas del espacio total y las paramétricas del mismo \( x_i=\lambda_i \) con \( \lambda_i\in \mathbb{R}\;(1\le i\le 4) \).

Estaría totalmente de acuerdo si no fuera por la expresión "más razonable"; "otra opción" si; más razonable no lo veo.

De hecho yo en este caso prefiero decir que NO hay ecuaciones implícitas, y lo veo mas coherente (asumiendo la subjetividad de los criterios para definir esta coherencia):

- Cuando uno da las implícitas da un conjunto de ecuaciones independientes. En ese caso se daría una única ecuación que es un sistema dependiente. De alguna forma es análogo a dar las ecuaciones implícitas de una recta en el plano como \( \begin{cases}{x+y-1=0}\\{2x+2y-2=0}\end{cases} \).
- Se tiene relación \( dim(L)=dim(E)-\text{nº ecuaciones implícitas (independientes)} \). El independientes incluso a veces se omite (se sobrentiende); si cuando \( L=E \) se escribe UNA ecuación implícita, la fórmula anterior podría llevar a equívoco. No bien entendida, porque la ecuación \( 0=0 \) no es independiente, pero a vuelapluma al estudiante inexperto le puede confundir.
- Como expliqué en mi anterior mensaje intuitivamente las ecuaciones implícitas determinan condiciones de un punto del espacio para pertenecer a la subvariedad. Si ésta es todo el espacio, no hay condiciones, luego no hay ecuaciones.

Saludos.

[Fernando Revilla]

De hecho yo en este caso prefiero decir que NO hay ecuaciones implícitas, y lo veo mas coherente

No problem. Yo veo más coherente la otra opción. Es como convenir que el espacio vectorial \( \left\{{0}\right\} \) no tiene base versus su base es \( \emptyset \), o decir característica \( 0 \) versus \( \infty \). Se acuerda y punto. Alguna particularidad emocional debe haber para elegir en cada caso .

[Luis Fuentes]

Hola

Es como convenir que el espacio vectorial \( \left\{{0}\right\} \) no tiene base versus su base es \( \emptyset \)

 Bueno en ese caso todavía vería menos duda. 

 ¡Mucho más coherente decir que el espacio vectorial cero tiene por base al conjunto vacío!. De otra forma se tiene una excepción absurda a "todo espacio vectorial tiene una base". Además el vacío cumple todo lo que cabría esperar de la base del subespacio cero; está formado por cero vectores y tiene dimensión cero; es un sistema de vectores independientes; el subespacio cero es el menor subespacio que lo contiene;...

Saludos.