a) Considera el problema de valores en la frontera de segundo orden:
\( -u''(x) = x, \ \ \ 0 < x < 1 \)
\( u(0) = 0, \ \ \ u(1) = 0 \)
b) Encuentra \( u \in \tilde{H} \) tal que \( u(0) = u(1) = 0 \) y
\( \displaystyle\int_{0}^{1} (-u''(x) - x)v(x) \ \ dx = 0 \) para todo \( v \in H \)
c) Encuentra \( u \in \tilde{H} \) tal que
\( \displaystyle\int_{0}^{1} (u'(x) v'(x) - xv(x))v(x) \ \ dx = 0 \) para todo \( v \in H \)
*La condición de integrabilidad cuadrada es más restrictiva que la de integrabilidad. Por ejemplo, la función \( v(x) = x^{-\frac{1}{2}} \) es integrable en \( 0<x<1 \) pero \( v^2 \) no es integrable en este intervalo.
d) Encuentra \( u \in \tilde{H} \) tal que
\( \displaystyle\int_{0}^{1} (-u v'' - xv) dx = 0 \)
Para todo \( v \in H \) tal que \( v(0= v(1) =0 \)
Analice las propiedades de las clases de ensayo y las funciones de prueba que corresponden al problema dado (a) . Además supongamos que \( f \), \( g \) y \( h \) son tres funciones que se muestran a continuación:
La función \( h \) está dada por:
\( h(x) = \left\lbrace \begin{array}{c}
\frac{1}{2} x^2 , \ \ 0\leq x \leq \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} - \frac{1}{2}(x-1)^2, \ \ \frac{1}{2}\leq x \leq 1
\end{array}\right. \)
Para cada problema (b) , (c) y (d) , determine si \( f \), \( g \) y \( h \) pertenecen o no a la clase apropiada de funciones de prueba o funciones de ensayo.
