[ChesterMane]

Me podrían ayudar con esta demostración, por favor.
Sean dados los enteros \( s \) y \( g>0 \). Probar que existen los enteros \( x \) y \( y \) que satisfacen \( x + y = s \) y \( (x,y)=g \) si, y solo si \( g|s \).

[Masacroso]

Observa que \( (x,y)=g \) si y solo si \( x=x'g \) e \( y=y'g \) con \( x' \) e \( y' \) primos entre sí. Entonces \( x+y=g(x'+y')=s \), por tanto \( g\mid s \). En la otra dirección: si \( g\mid s \) entonces \( s=gk \) para algún \( k\in \mathbb{N} \), entonces tomando \( j\in \mathbb{Z} \) tal que \( (k-j,j)=1 \) si defines \( x:=g(k-j) \) e \( y:=gj \) tienes que \( x+y=s \) y \( (x,y)=g \).∎

[feriva]

Me podrían ayudar con esta demostración, por favor.
Sean dados los enteros \( s \) y \( g>0 \). Probar que existen los enteros \( x \) y \( y \) que satisfacen \( x + y = s \) y \( (x,y)=g \) si, y solo si \( g|s \).

Explicado con más palabras:

Si \( x+y=s \) donde el mcd de x,y es \( (x,y)=g \), entonces existen enteros a,b tales que

\( x=ag \)

\( y=bg \)

\( ag+bg=s \)

donde sacando factor común “g”, tenemos

\( g(a+b)=s \)

\( a+b=\dfrac{s}{g} \).

Con lo cual, al ser a,b enteros, también a+b es entero por la propiedad de cerradura algebraica y, con eso, el hecho de que la suma sea igual a \( \dfrac{s}{g} \), implica que \( \dfrac{s}{g} \) dé una división exacta, esto es, con resto cero, lo que igualmente implica que “g” divide a “s”.

Bueno, lo he demostrado en una sola dirección, pero es igual de fácil ver la doble implicación

Saludos.

[ChesterMane]

Gracias, por sus respuestas. Les agradezco.