Hola
¿Me podrían ayudar con un ejercicio de negaciín de cuantificadores?
a) Resuelva la siguiente negación: \( \neg [\forall x\in \Bbb R:x^2+4x-21>0\Rightarrow x>3\vee x<-7] \).Justifique.
Completando lo indicado por manooooh sería:
\( \exists x\color{red}\in \Bbb R\color{black}: x^2+4x-21>0\wedge -7\leq x\leq 3 \)
b) Analice el valor de verdad. Justifique.
Resolviendo la ecuación de segundo grado \( x^2+4x-21=0 \) obtienes las raíces \( x=-7 \) y \( x=3 \).
Eso quiere decir que:
\( x^2+4x-21=(x-3)(x+7) \)
Entonces \( x^2+4x-21>0 \) equivale a \( (x-3)(x+7)>0 \) y ambos factores tienen el mismo signo:
ó bien \( (x-3)>0 \) y \( (x+7)>0 \) es decir \( x>3 \) y \( x>-7 \), es decir \( x>3 \).
ó bien \( (x-3)<0 \) y \( (x+7)<0 \) es decir \( x<3 \) y \( x<-7 \), es decir \( x<-7 \).
Por tanto:
\( \forall x\in \Bbb R:x^2+4x-21>0\Rightarrow x>3\vee x<-7 \)
es verdadera y su negación es falsa.
Saludos.
CORREGIDO (gracias Carlos Ivorra)
