Buenas con todos,tengo una duda sobre el regreso de una prueba.
Si \(E\) es un espacio vectorial.
\(\bullet \) El segmento de recta de extremos \(u,v\) es por definición el conjunto \( \left [ u,v \right ]=\left \{ (1-t)u+tv:0\leq t\leq 1 \right \}\)
\(\bullet \) \(X\subset{E}\) es convexo \(\Leftrightarrow \) \( (u,v\in X\Rightarrow \left [ u,v \right ]\subset X) \).
\(\bullet \) \(C\subset{E}\) es un cono \(\Leftrightarrow \) \( (u\in C\wedge t>0\Rightarrow tu\in C) \)
La prueba es la siguiente:Sea \(C\subset E \) un cono se cumple
\(C\) es un conjunto convexo \(\Leftrightarrow \left (u,v\in C\Rightarrow u+v\in C \right )\)
Demostración
\((\Rightarrow) \)
\(u,v\in C\Rightarrow (1-t)u+tv\in C \) para todo \(t\in\left [ 0,1 \right ]\) \(\textcolor{red}{\text{(ya que C es convexo)}}\)
\(\Rightarrow (1-\frac{1}{2})u+\frac{1}{2}v\in C \) \(\textcolor{red}{\text{(tomando un valor t=1/2)}}\)
\(\Rightarrow 2\left ( \frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v\right )=u+v\in C \) \(\textcolor{red}{\text{(ya que C es un cono)}}\)
\((\Leftarrow) \)
\( \left\{\begin{matrix}
u\in C \wedge (1-t)>0\Rightarrow (1-t)u\in C\\
v\in C \wedge t>0\Rightarrow tv\in C
\end{matrix}\right.\)
\(\textcolor{red}{\text{(lo anterior porque C es un cono)}}\)
\(u,v\in C \Rightarrow (1-t)u \in C \wedge tv\in C \) para todo \(t\in \left \langle 0,1 \right \rangle\) \(\textcolor{red}{\text{(acá tengo la duda si lo que inferí a partir de que } u,v\in C \text{ es correcto)}}\)
\(\Rightarrow (1-t)u+tv\in C \) para todo \(t\in \left \langle 0,1 \right \rangle\) \(\textcolor{red}{\text{(si lo anterior fuera cierto se podria sumar los dos vectores y pertenecerian a C,}}\)
\(\textcolor{red}{\text{tenemos ese nuevo vector que pertenece a C pero t esta en un intervalo abierto y no cerrado como dice la definición de conjunto convexo)}}\)
Tal vez haya otra forma de demostrar el regreso.
Espero sus respuestas. Gracias!!!
