[Paquito_Darboux]

A través de un problema de residuos he llegado a esta integral sobre Lambda que es una semicircunferencia del plano complejo de radio epsilon orientada en sentido negativo. Estoy tratando de probar que si epsilon tiende a cero, la integral también lo hace. ¿Alguien sabe cómo hacerlo?

He pensado que tomando el cambio de variable \( z = \epsilon \exp(i \cdot  \theta) \) es fácil comprobar a través de un límite que si epsilon tiende a cero la integral también lo hace, pero no averiguo la forma de meter el límite dentro de la integral.

Esta es la integral:

\( \displaystyle\int_{\Lambda}\frac{\log^2z}{z^4+z^2+1} dz = \int_{0}^{\pi} \frac{\log^2\epsilon + 2i\theta \log\epsilon - \theta^2}{(\epsilon e^{i\theta})^4+(\epsilon e^{i\theta})^2+1} i\epsilon e^{i\theta} d\theta \)

Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \), la ortografía y se ha cambiado el título por uno más informativo.
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[Masacroso]

Entiendo que la curva es algo así \( \Lambda_\epsilon  :=\{z\in \mathbb{C}: |z|=\epsilon\,\land\, \arg z\in [0,\pi] \} \), y supongamos que \( \epsilon \in(0,1/2) \) entonces tenemos que

\( \displaystyle{
\left| \int_{\Lambda _\epsilon }\frac{(\ln z)^2}{z^4+z^2+1}\,d z \right|\leqslant \int_{\Lambda _\epsilon }\frac{|\ln z|^2}{1-|z|^2-|z|^4}|dz|\leqslant \pi \epsilon \sup_{z\in \Lambda _\epsilon }|\ln z|^2= \pi \epsilon ((\ln \epsilon)^2+\pi^2)
} \)

Y como \( \lim_{\epsilon \to 0^+}\epsilon (\ln \epsilon )^k=0 \) para todo \( k\in \mathbb{N} \) entonces se sigue que la integral converge a cero conforme \( \epsilon \to 0^+ \).