[Bernhard Gaspar]

Buenas con todos, tengo una duda en la demostración que una bola abierta y una bola cerrada de \(\mathbb{R}^2\) ambas de radio 1 y centro en el origen de coordenadas es convexo. Primero que nada pondré las definiciones con las que he trabajado (las cuales la saque de Curso de análisis real 2 del autor Elon Lages Lima).
Sea \(E\) un espacio vectorial y  \(u,v\in{E}\). El segmento de recta de extremos \(u,v\) es por definición el conjunto
$$\left [ u,v \right ]=\left \{ (1-t)u+tv:0\leq t\leq 1   \right \}$$
Un conjunto \(X\subset{E}\) se llama convexo si y solo si \(u,v\in X\Rightarrow \left [ u,v \right ]\subset X\).
Probar que \(B=\left \{u\in \mathbb{R}^2:\left | u \right |\leq  1 \right \}\).
Para demostrar \(B\) es convexo tendría que si \(u,v\in B\Rightarrow \left [ u,v \right ]\subset B\) lo que es lo mismo que \( u,v\in B\Rightarrow (1-t)u+tv \in B \) donde \(0\leq t\leq 1\). Ademas, como \(u \in B \Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1\).
Empezaría la demostración de la siguiente manera
$$u,v\in B\Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1 \wedge \left | v \right |\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow (1-t)\left | u \right |\leq (1-t) \wedge t\left | v \right |\leq t\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow  (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq (1-t)+t=1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\quad \wedge \quad (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1 $$
Se probo que  \(u,v\in B\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1\). Me refiero al "si y solo si" ya que yo quería  probar solo el "entonces" ya que eso es un conjunto convexo por definición. Mi duda es la siguiente: ¿ En que punto de la demostración ya no puedo usar el "si y solo si" y así la demostración estaría en concordancia con la definición de conjunto convexo.

[Masacroso]

¿En qué punto de la demostración ya no puedo usar el "si y solo si" y así la demostración estaría en concordancia con la definición de conjunto convexo?

No te sigo muy bien. Mira, lo que estarías demostrando (al menos a priori, luego hay que ver que la demostración sea correcta) es la siguiente proposición para espacios vectoriales normados (cuyo cuerpo asociado contenga a \( \mathbb{R} \)):

\( \displaystyle{
\|x\|\leqslant 1 \,\land\, \|y\|\leqslant 1\iff \forall t\in [0,1](\|tx+(1-t)y\|\leqslant 1)\tag1
} \)

Eso significa que \( B(0,1):=\{x:\|x\|\leqslant 1\} \) es un conjunto convexo. Igualmente te marco en verde lo que no estaría bien aquí abajo:

Empezaría la demostración de la siguiente manera
$$u,v\in B\Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1 \wedge \left | v \right |\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow (1-t)\left | u \right |\leq (1-t) \wedge t\left | v \right |\leq t\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow  (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq (1-t)+t=1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\quad \wedge \quad (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$${\color{green}{\Leftrightarrow }} \left | (1-t)u+tv \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1 $$

Ahí la dirección a la izquierda no es cierta, es decir, no es cierto en general que \( \|a{\color{red}{+}}b\|\leqslant  c\implies {\color{red}{\|a\|+\|b\|}}\leqslant c \).

No sé si lo dicho te aclara algo.

Corregido.

[Bernhard Gaspar]

La prueba corregida seria:
$$u,v\in B\Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1 \wedge \left | v \right |\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow (1-t)\left | u \right |\leq (1-t) \wedge t\left | v \right |\leq t\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow  (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq (1-t)+t=1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\quad \wedge \quad (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$ \textcolor{red}{\Rightarrow} \left | (1-t)u+tv \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow[u,v]\subset B $$
Entonces se habría probado que:
 \(u,v\in B  \textcolor{red}{\Rightarrow} [u,v]\subset B\)
Que es la definición de conjunto convexo.
Ademas, mi error en esa linea de la demostración fue que para \(a,b,c \in \mathbb{R}\) es cierto que  \(a<b \wedge b<c\Rightarrow a<c\)  mas no en el sentido contrario.
Saludos

[Masacroso]

La prueba corregida seria:
$$u,v\in B\Leftrightarrow \left | u \right |\leq 1 \wedge \left | v \right |\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow (1-t)\left | u \right |\leq (1-t) \wedge t\left | v \right |\leq t\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow  (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq (1-t)+t=1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \left | (1-t)u+tv \right |\leq (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\quad \wedge \quad (1-t)\left | u \right |+t\left | v \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$ \textcolor{red}{\Rightarrow} \left | (1-t)u+tv \right |\leq 1\text{ donde }0\leq t\leq 1$$
$$\Leftrightarrow (1-t)u+tv \in B \text{ donde }0\leq t\leq 1 $$
$$\Leftrightarrow[u,v]\subset B $$
Entonces se habría probado que:
 \(u,v\in B  \textcolor{red}{\Rightarrow} [u,v]\subset B\)
Que es la definición de conjunto convexo.

Se habría demostrado que \( B \) es convexo, sí. Pero observa que la implicación \( [u,v]\subset  B\implies u,v\in B \) es trivial, por lo que también se podría escribir \( u,v\in B\iff [u,v]\subset  B \). Eso no significa que todos los conjuntos convexos sean bolas sino que \( B \) es convexo, no sé si era eso lo que te preocupaba.

[Bernhard Gaspar]

Se habría demostrado que \( B \) es convexo, sí. Pero observa que la implicación \( [u,v]\subset  B\implies u,v\in B \) es trivial, por lo que también se podría escribir \( u,v\in B\iff [u,v]\subset  B \). Eso no significa que todos los conjuntos convexos sean bolas sino que \( B \) es convexo, no sé si era eso lo que te preocupaba.

Lo que me preocupaba es que la definicion en el libro que menciono dice asi:
$$X \text{ es convexo } \Leftrightarrow \left (u,v\in X \textcolor{red}{\Rightarrow} [u,v]\subset X  \right )$$
Y me preguntaba porque esa implicacion (de rojo) deberia de estar en la definición, pero llegue a la conclusión que la definicion esta bien asi ya que al negar las propociciones a ambos lados en la definición
$$\neg (X \text{ es convexo }) \Leftrightarrow \neg \left (u,v\in X\Rightarrow [u,v]\subset X  \right )$$
$$X \text{ no es convexo } \Leftrightarrow \neg \left ( \neg (u,v\in X) \vee  [u,v]\subset X  \right )$$
$$X \text{ no es convexo } \Leftrightarrow  (u,v\in X) \wedge   \neg([u,v]\subset X)$$
Lo que me parece  correcto como definicion de que un conjunto no es convexo.
Asi que me parecia que mi demostración no estaba correcta si no llegaba a  probar exactamente la definición que menciono. Es decir, llegar a que \(u,v\in B\Rightarrow [u,v]\subset B\)
No se si estoy en lo correcto. Muchas gracias por responder.

[Masacroso]

Se habría demostrado que \( B \) es convexo, sí. Pero observa que la implicación \( [u,v]\subset  B\implies u,v\in B \) es trivial, por lo que también se podría escribir \( u,v\in B\iff [u,v]\subset  B \). Eso no significa que todos los conjuntos convexos sean bolas sino que \( B \) es convexo, no sé si era eso lo que te preocupaba.

Lo que me preocupaba es que la definicion en el libro que menciono dice asi:
$$X \text{ es convexo } \Leftrightarrow \left (u,v\in X \textcolor{red}{\Rightarrow} [u,v]\subset X  \right )$$
Y me preguntaba porque esa implicacion (de rojo) deberia de estar en la definición, pero llegue a la conclusión que la definicion esta bien asi ya que al negar las propociciones a ambos lados en la definición
$$\neg (X \text{ es convexo }) \Leftrightarrow \neg \left (u,v\in X\Rightarrow [u,v]\subset X  \right )$$
$$X \text{ no es convexo } \Leftrightarrow \neg \left ( \neg (u,v\in X) \vee  [u,v]\subset X  \right )$$
$$X \text{ no es convexo } \Leftrightarrow  (u,v\in X) \wedge   \neg([u,v]\subset X)$$
Lo que me parece  correcto como definicion de que un conjunto no es convexo.
Asi que me parecia que mi demostración no estaba correcta si no llegaba a  probar exactamente la definición que menciono. Es decir, llegar a que \(u,v\in B\Rightarrow [u,v]\subset B\)
No se si estoy en lo correcto. Muchas gracias por responder.

Estar en lo correcto respecto a qué cosa exactamente. Ya has demostrado que \( x,y\in B\Rightarrow [x,y]\subset B \), luego se cumple la condición para que \( B \) sea convexo (es decir, \( B \) es convexo). Si además demuestras otra cosa (como que \( [x,y]\subset B\Rightarrow x,y\in B \)) eso no cambia que ya has demostrado que \( B \) es convexo, no sé si esto último que digo te termina de aclarar las dudas.

[Bernhard Gaspar]

Si ya aclare mis dudas, gracias por la paciencia.