[manooooh]

Hola!

Sea \( G \) un grupo y sea \( H\subseteq G \). Si \( H \) está formado por elementos involutivos (aquellos que son sus propios simétricos), ¿siempre \( H \) es subgrupo de \( G \)?

¿En qué casos sí y cómo se demuestra esta propiedad? ¿O un contraejemplo?

Gracias!!
Saludos

[Masacroso]

Es cierto cuando el grupo es abeliano, pero dudo que lo sea en el caso general, bastaría buscar un contraejemplo (por ejemplo, quizá, con matrices 2x2).

[Fernando Revilla]

¿O un contraejemplo?

Para el grupo lineal de orden \( 2 \), elige \( A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix} \) y \( B=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{-2}\end{bmatrix} \). Comprueba que \( A \) y \( B \) son involutivas pero que \( AB \) no lo es.

[manooooh]

Hola

Para matrices de orden \( 2\times 2 \) elige \( A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix} \) y \( B=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{-2}\end{bmatrix} \). Comprueba que \( A \) y \( B \) son involutivas pero que \( AB \) no lo es.

Es decir:

Sea \( (\mathcal M_2(\Bbb R),\cdot) \) el grupo de matrices inversibles de orden \( 2 \), y sea \( H=\{I,A,B\} \) (acá agrego a la matriz identidad, porque si fuera subgrupo siempre debería incluir al neutro).

Se tiene que el simétrico de \( I \) es \( I \), el de \( A \) es \( A \), el de \( B \) es \( B \), pero sin embargo \( H \) no es subgrupo en sí, porque \( AB\notin H \).

¿Es correcto?

Saludos

AGREGADO

[Fernando Revilla]

Es decir: Sea \( (\mathcal M_2(\Bbb R),\cdot) \) el grupo de matrices inversibles de orden \( 2 \), y sea \( H=\{I,A,B\} \) (acá agrego a la matriz identidad, porque si fuera subgrupo siempre debería incluir al neutro). Se tiene que el simétrico de \( A \) es \( A \), el de \( B \) es \( B \), pero sin embargo \( H \) no es subgrupo en sí, porque \( AB\notin H \).

Sería: sea \( \mathbf{GL}_2(\mathbb R) \) el grupo lineal de orden \( 2 \) (i.e. el grupo de las matrices invertibles reales de orden \( 2 \)) y \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) (i.e. el subconjunto de los elementos involutivos). Entonces, \( H \) no es subgrupo pues el producto en \( H \) no es operación cerrada.

[manooooh]

Hola

Sería: sea \( \mathbf{GL}_2(\mathbb R) \) el grupo lineal de orden \( 2 \) (i.e. el grupo de las matrices invertibles reales de orden \( 2 \)) y \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) (i.e. el subconjunto de los elementos involutivos). Entonces, \( H \) no es subgrupo pues el producto en \( H \) no es operación cerrada.

Gracias. Ese sería el caso general, pero el caso particular que has propuesto y que yo le he dado forma ¿está bien, o hay algún concepto erróneo que escribí?

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Ese sería el caso general, pero el caso particular que has propuesto y que yo le he dado forma ¿está bien, o hay algún concepto erróneo que escribí.

Opino que el caso al que tú has dado forma como contraejemplo, con la idea propuesta por Fernando Revilla, también es válido, ya que es un subconjunto \( H\subset\mathbf{GL}_2(\mathbb R) \) formado por elementos involutivos, que no es subgrupo.
Saludos

[Fernando Revilla]

Gracias. Ese sería el caso general, pero el caso particular que has propuesto y que yo le he dado forma ¿está bien, o hay algún concepto erróneo que escribí?

Veamos, la hipótesis era

Si \( H \) está formado por elementos involutivos (aquellos que son sus propios simétricos), ¿siempre \( H \) es subgrupo de \( G \)?

No dice por todos los elementos involutivos, en cuyo caso es falso pues no necesariamente el neutro pertenece a \( H \) y ya tienes un contraejemplo trivial. Claro, luego añades artificialmente \( I \) para que el contraejemplo no sea tan trivial. Ten en cuenta que lo importante es que en general el producto de involutivos no es involutivo, y de ahí razonas caso general y particular sobre subconjuntos de involutivos que elijas. Yo lo hice sobre el caso general porque me parece el más coherente y representativo.

Además creo (revisa el enunciado) que la hipótesis es Si \( H \) está formado por todos los elementos involutivos ... por lo que te comento del hiper-trivial contraejemplo.

[manooooh]

Hola

No dice por todos los elementos involutivos, en cuyo caso es falso pues no necesariamente el neutro pertenece a \( H \) y ya tienes un contraejemplo trivial. Claro, luego añades artificialmente \( I \) para que el contraejemplo no sea tan trivial. Ten en cuenta que lo importante es que en general el producto de involutivos no es involutivo, y de ahí razonas caso general y particular sobre subconjuntos de involutivos que elijas. Yo lo hice sobre el caso general porque me parece el más coherente y representativo.

Además creo (revisa el enunciado) que la hipótesis es Si \( H \) está formado por todos los elementos involutivos ... por lo que te comento del hiper-trivial contraejemplo.

El neutro sí es involutivo ya que \( e'=e \). Por eso al decir "Todos los involutivos" ya me estoy refiriendo a él como elemento del conjunto.

Aunque tengo entendido que los elementos involutivos generan subgrupos de orden dos (él mismo y el neutro). Esta propiedad no pareciera cumplirse con el neutro ya que el subgrupo generado por él consta de él solo, por lo que el orden es uno en ese caso. ¿La propiedad que tengo entendido está mal?

Saludos

[manooooh]

Hola

Propongo aquí el ejercicio en cuestión por el cual abrí el hilo a ver si pueden echarme una mano:

Considerar el grupo producto \( (\Bbb Z_2,+)\times(\Bbb Z_5\setminus\{0\},\bullet) \), hallar la red de subgrupos.

Se tiene que:

\( G=\Bbb Z_2\times\Bbb Z_5\setminus\{0\}=\{(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)\} \) (omito poner el símbolo de clases de equivalencia) y \( |G|=8 \).

Subgrupos cíclicos:

\( \langle(0,1)\rangle=\{(0,1)\} \)

\( \langle(0,2)\rangle=\{(0,2),(0,4),(0,3),(0,1)\}=\langle(0,3)\rangle \)

\( \langle(0,4)\rangle=\{(0,4),(0,1)\} \)

\( \langle(1,1)\rangle=\{(1,1),(0,1)\} \)

\( \langle(1,2)\rangle=\{(1,2),(0,4),(1,3),(0,1)\}=\langle(1,3)\rangle \)

\( \langle(1,4)\rangle=\{(1,4),(0,1)\} \)

Como ninguno generó al grupo completo, luego deben haber subgrupos NO cíclicos:

Por el teorema de Lagrange hay que buscar subgrupos de órdenes 1, 2, 4 y 8.

De orden 1 es el trivial que es cíclico.

De orden 8 es el impropio que es no cíclico.

De orden 2, cualquier subgrupo de 2 elementos va a estar formado por el neutro y por un elemento involutivo y ya los encontramos todos en los cíclicos.

De orden 4, quedaría el 4-grupo de Klein que está formado por 3 elementos involutivos y el neutro, es decir \( H=\{(1,0),(0,4),(1,1),(1,4)\} \).

Mi pregunta partía que desde la afirmación hecha en rojo, se podía extender a cualquier orden del grupo. Pero parece que no es cierto tal como mostró Fernando. ¿Y cómo se hallarían si no es por esta "propiedad", los demás subgrupos no cíclicos?

Saludos